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4.3. INDIPENDENZA TRA VARIABILI ALEATORIE 40Dimostrazione. la prima uguaglianza discende dal Lemma 6. Perla seconda si haE(Φ(X)) = ∑ s∈SΦ(X(s))P (s)= ∑∑x∈S X s∈S:X(s)=x= ∑x∈S XΦ(x)P X (x)Φ(x)P (s)La prima espressione di E(Φ(X)) data nel teorema richiede la determinazionedi (S Φ(X) , P Φ(X) ), mentre per la seconda espressione bastala distribuzione di X che può essere utilizzata per tutte le Φ.Il valore atteso di una potenza di una variabile aleatoria X vienedefinito momento di ordine k di X ed in accordo con l’ultimo risultatovale ∑ x∈S Xx k P X (x).4.3. Indipendenza tra variabili aleatorieE’ stata sollevata nell’ultimo capitolo la questione della dipendenzatra variabili aleatorie. Per definire la mancanza di dipendenza estendiamoil concetto di indipendenza tra eventi. Per comprendere comerealizzare questa estensione partiamo dall’esempio seguente.Per semplificare la notazione, per variabili aleatorie X 1 , , . . . , X ndefinite su uno stesso spazio di probabilità (S, P ) indicheremo con{X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , . . . , X n = x n }= {s ∈ S : X 1 (s) = x 1 e X 2 (s) = x 2 e . . . e X n (s) = x n }.Esempio 44. Se X i = I Ai , con A i eventi indipendenti in uno spaziodi probabilità (S, P ), alloraP (I A1 = 1)P (I A2 = 1) = P (A 1 )P (A 2 )ma abbiamo anche visto chee così via, di modo cheper ogni i, j = 0, 1.= P (A 1 ∩ A 2 )= P (I A1 I A2 = 1)P (I A1 = 1)P (I A2 = 0) = P (A 1 )P (A c 2)□= P (I A1 = 1, I A2 = 1) (4.13)= P (A 1 ∩ A c 2)= P (I A1 = 1, I A2 = 0) (4.14)P (I A1 = i)P (I A2 = j) = P (I A1 = i, I A2 = j)