parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

2.7. TEOREMA DI DE MOIVRE-LAPLACE 20Poniamo n = 2ν e, per ogni k = 0, 1, 2, . . .α k = P(ν + k, 2ν, 1/2) =( 2ν) 1ν + k 2 2ν=(2ν)! 1(ν + k)!(ν − k)! 2 2ν=(2ν)! 1 ν − k + 1(ν + k − 1)!(ν − k + 1)! 2 2ν ν + kν − k + 1= α k−1ν + k(ν − k + 1)(ν − k + 2) . . . ν= α 0(ν + k)(ν + k − 1) . . . (ν + 1)Ricordiamo checon(1 − k−1 k−2)(1 −ν= α ) . . . 1 ν0(1 + k k−1)(1 + ) . . . (1 + 1).ν ν νlog(1 + x) = x − x 2 /2 + x 3 /3 + · · · = x + R(x)|R(x)| ≤ x 2 /2 + x 3 /3 + · · · ≤ 1/2per 2(1 − x) > 1, ossia per x < 1/2.Quindi 1 + x = e x+R(x) , per cuik−1−(eα k = α 0∞∑x k =k=2ν +···+ 1 ν )e ¯R(k)e ( k ν +···+ 1 ν )= α 0 e − k2ν e¯R(k)x 22(1 − x) < x2= α 0 e − 2k2n e¯R(k), (2.5)con | ¯R(k)| ≤ 2kR( k) ≤ 2 k3 = 2 23 k 3. Dalla formula di Stirlingν ν 2 n 2α 0 = 2 √ nec eS(n)con |S(n)| ≤ 1 . 3(n+1)Risulta quindi che α k ≈ c 1 e −c2k , con c 1 e c 2 costanti, così che possiamostimarlo tramite l’integrale della funzione c 1 e −c2x . Per far ciò sinoti che la funzione e − x22 è decrescente per x ≥ 0. Dalla monotoniadiscende che per k ≥ 1:∫ kk−1e − x2ν dx ≥ e− k2ν≥∫ k+1ke − x2ν dx