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4.2. VALORE ATTESO 38In questo calcolo la proprietà di indipendenza della distribuzione diBernoulli non è stata utilizzata ed infatti il Lemma vale in generale pertutte le variabili aleatorie.Esempio 40. Se T n è il totale di n estrazioni dalla tombola senzareinserimento allora T n = ∑ ni=1 X i, con X i i-simo numero estratto.poichéE(X i ) =∑90j=1j90 = 912per ogni i ≤ 90, e E(X i ) = 0 per ogni i > 90, si ha{n91se n ≤ 90E(T n ) = 290 91 se n ≥ 90.2Si noti il caso n = 90, in cui tutte le palline sono estratte e T 90 ≡ 90 91 2con probabilità uno.Ci sono altri modi per indicare un ‘valore medio’ di una variabilealeatoria, utili in particolari contesti. Tra questi vi è il centro o i centridelle probabilità :Definizione 8. Si dice mediana di una variabile aleatoria Xdefinita su (S, P ) ogni valore m(X) tale cheP (X ≤ m(X)) ≥ 1 2 e P (X ≥ m(X)) ≥ 1 2 .Esempio 41. Tutti i valori in [3, 4] sono mediane del risultato dellancio di un dado.Esempio 42. La mediana del numero T n di teste in 100 lanci diuna moneta è 50, come si vede per simmetria, mentre per 101 lanci èun qualunque numero in [50, 51]Come si è visto dagli esempi, la mediana non è necessariamenteunica e può coincidere o meno con il valore atteso.Definizione 9. Si dice moda di una variabile aleatoria X ognivalore mo(X) tale che per ogni x ∈ S XP (X = mo(X)) ≥ P (X = x).E’ moda di una variabile aleatoria T n ∼ B(n, p) ogni valore in[p(n + 1) − 1, p(n + 1)] ∩ N mentre tutti i valori possibili sono moda perle variabili aleatorie uniformi. La moda di una variabile aleatoria è utilesolo in alcune situazioni: ad esempio, se si è obbligati a scommetteresu uno solo dei risultati possibili di un esperimento casuale la modapermette di massimizzare le probabilità di vittoria.Quando si osservano dei dati {x 1 , . . . , x n } dopo aver condotto un esperimentocasuale è possibile definire lo spazio di probabilità (S O , P O ),