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4.1. VARIABILI ALEATORIE 34Dimostrazione. Si ha:(i) P X (S X ) = P (X −1 S X ) = P (S) = 1(ii) Per ogni B ⊆ S X , 0 ≤ P X (B) ≤ P (S) = 1(iii) Per ogni B, C ⊆ S X , B ∩ C = ∅,P X (B ∪ C) = P (X −1 (B ∪ C))= P (X −1 (B) ∪ X −1 (C))= P (X −1 (B)) + P (X −1 (C))= P (B) + P (C)in cui la terza uguaglianza deriva, come sempre, dal fatto che gli eventisono disgiunti e che quindi sono disgiunte le immagini inverse.Infine, |S X | ≤ |S| < ∞.□Osservazione 7. Si noti che P X risulta essere una probabilità proprioperché utilizziamo X −1 per trasportare P in P X . Se Z : T → Sfosse una fuzione a valori in uno spazio di probabilità (S, P ) il trasportonella direzione opposta dato da P ◦ Z non dà in generale uno spaziodi probabilità perché le immagini di insiemi disgiunti non è detto chesiano disgiunte.Se D indica una certa distribuzione e X è una variabile aleatoriasi scrive X ∼ D (letto X ha distribuzione D) per indicare che Xha la distribuzione D. Ad esempio, se X è la la funzione identitàsu uno spazio di probabilità uniforme su {1, 2, . . . , n} indichiamo conX ∼ U({1, 2, . . . , n}) = U(n) il fatto la distribuzione di X è appuntolo spazio uniforme di partenza.Poiché (S X , P X ) è uno spazio di probabilità gran parte delle informazionisu X possono essere dedotte direttamente dalla sua distribuzione,tant’è che se due variabili aleatorie hanno la stessa distribuzionecondividono gran parte delle proprietà . Per cui si pone:Definizione 6. Si dice che due variabili aleatorie X definita su(S 1 , P 1 ) ed Y definita su (S 2 , P 2 ) sono uguali in distribuzione, e sidenota con X = d Y , se (S X , P X ) = (S Y , P Y )Da questo punto di vista sembra perfino che non sia necessariointrodurre le variabili aleatorie, in quanto il loro studio si riconducea quello di spazi di probabilità . Tuttavia, solo ‘gran parte’ delleproprietà dipendono dalla distributione, non tutte. In particolare, inqualunque modello di fenomeni reali si è interessati al valore assuntoda una variabile aleatoria e non solo alla sua distribuzione; in questadirezione si osservi che variabili aleatorie uguali in distribuzione nonsono necessariamente uguali, anzi possono essere sempre diverse:Esempio 31. Nel lancio di una moneta, la funzione indicatrice ditesta I T e la funzione indicatrice di croce I C soddisfano I T = d I C maI T (s) ≠ I C (s) per ogni s ∈ S; in altre parole, i guadagni di chi puntasu testa sono opposti a quelli di chi punta su croce