parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.4. DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DI DUE VARIABILI ALEATORIE 71Dalla (ii) della definizione di spazio continuo si ha∫1 = f(x, y)dxdyR∫2 ∫= c ( I T (x, y)dy)dx= c= cR∫ 10∫ 10(R∫ 1−x0dy)dx(1 − x)dx = c/2 (6.24)da cui c = 2, poichè essendo i domini di integrazione normali e l’integrandacontinua l’integrale si può calcolare tramite integrali ripetuti.La marginale di X si ottiene da∫f X (x) = f(x, y)dy = 2(1 − x 1 ).RData una funzione Φ : R 2 → R ed una coppia di variabili aleatorieX ed Y di cui sia nota la densità congiunta, la composizione Φ(X, Y )è una variabile aleatoria. Si vede, per il caso continuo dalle formule delcambiamento di variabili, che vale la seguente naturale espressione peril valore atteso:E(Φ(X, Y )) =∑Φ(x, y)p X,Y (x, y) (6.25)S X ×S Ye∫E(Φ(X, Y )) = Φ(x, y)f X,Y (x, y)dxdy. (6.26)R 2Anche qui vale l’additività del valore attesoLemma 18. Data una coppia di variabili aleatorie X ed Y si haE(X + Y ) = E(X) + E(Y ).Dimostrazione.∫E(X + Y ) = (x + y)f X,Y (x, y)dxdyR∫2 ∫∫ ∫= ( xf X,Y (x, y)dy)dx + ( yf X,Y (x, y)dx)dyR RR R∫∫= xf X (x)dx + xf Y (y)dy = E(X) + E(Y )RL’indipendenza delle variabili aleatorie continue si può esprimere intermini del rapporto tra densità congiunta e marginali, nel senso chedue variabili aleatorie X ed Y sono indipendenti se e solo sep X,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) = p X (x)p Y (x)R□