parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.4. DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DI DUE VARIABILI ALEATORIE 72per il caso discreto ef X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y)per tutti (x, y) ∈ R 2 , per il caso continuo. Quindi le marginali permettonola ricostruzione della distribuzione congiunta quando le variabilisiano indipendenti.Lemma 19. Se X ed Y sono variabili aleatorie indipendenti alloraE(XY ) = E(X)E(Y ).Dimostrazione.∫E(XY ) = xyf X,Y (x, y)dxdyR∫2= xf X (x)yf Y (y)dxdyR∫2 ∫= xf X (x)dx yf Y (y)dy = E(X)E(Y )RSi possono poi definire le distribuzioni condizionali.Definizione 31. Date variabili aleatorie X ed Y con densità congiuntasi definisce densità condizionata o condizionale di X dato Yla funzionep X|Y (x|y) = p X,Y (x, y)p Y (y)nel caso discreto ef X|Y (x|y) = f X,Y (x, y)f Y (y)nel caso continuo per tutti i valori x ∈ R e y ∈ R tali che p Y (y) ≠ 0of Y (y) ≠ 0.oPer un generico evento ammissibile AP (X ∈ A|Y = y) = ∑ p X|Y (x|y)A∫P (X ∈ A|Y = y) = f X|Y (x|y)dx.Definizione 32. Il valore atteso calcolato rispetto alla probabilitàcondizionale di una variabile aleatoria date le altre si chiama valoreatteso condizionale o condizionato e si denotaRE(X|Y = y) = ∑ S YAxp X|Y (x|y).□o∫E(X|Y = y) = xf X|Y (x|y)dy.R