parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

e (3)Infine,6.3. VARIABILI ESPONENZIALI E GAMMA 68∫ x∫ ∞−∞−∞f(t)dt = limt→∞(F (t) − F (−t)) = 1.f(t)dt = F (x) − limt→∞−F (−t) = F (x)per cui F è la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria didensità f.□Definizione 28. Si dice che due variabili aleatorie continue X edY sono uguali in distribuzione, e si indica X = d Y , se F X (t) = F Y (t)per ogni t.6.3. Variabili esponenziali e GammaOltre alle variabili uniformi e gaussiane, vi sono altre distribuzioniche sono risultate rilevanti in vari contesti applicativi.Distribuzione esponenziale. Un esempio importante di variabilealeatoria continua ha densitàf(t) = λe −λt I t≥0detta distribuzione esponenziale exp(λ). Si noti che se X ∼ exp(λ)alloraV ar(X) =e SD(X) = 1/λ. InoltreeE(X) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞tλe −λt dt = 1/λ,t 2 λe −λt dt − E(X) 2 = 1/(λ) 2 ,F X (t) = 1 − e −λtP (X > t + T |X > t) = e −λTuna proprietà che si esprime come perdita di memoria. Per questacaratteristica la distribuzione esponenziale è usata come modello per iltempo di vita di componenti elettronici.In particolare questo modello potrebbe essere usato per analizzare itempi di funzionamento dei componenti elettronici di cui all’esempio 2.Per completare l’analisi di questo esempio si devono però considerare lesomme di tempi di vita indipendenti, ossia somme di variabili aleatoriecontinue indipendenti e questo verrà sviluppato nei prossimi capitoli.Vedremo in seguito che gli intertempi tra arrivi modellizzati da unadistribuzione di Poisson sono esponenziali.