parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.1. VARIABILI ALEATORIE CONTINUE 63Definizione 24. In uno spazio di probabilità continuo (R, f) sidefiniscono eventi le unioni finite di intervallini semiaperti, aperti ochiusi, e si indica con C la famiglia di tali insiemi. Per ogni A =∪ n i=1]a i , b i ] si ponen∑∫ biP f (A) = f(x)dx.i=1Proposizione 1. (i) Per ogni a ∈ R, P ({a}) = 0(ii) P ([a, b]) = P (]a, b[) = P (]a, b]).Dimostrazione. (i) si ottiene dalla monotonia della probabilitàche implica che per ogni nP ({a}) ≤ P (]a − 1/n, a]) = 1/n. La parte (ii) si dimostra dalla (i) poiché le differenze tra gli eventicoinvolti sono costituite da uno o due punti al più .□In accordo con questa Proposizione sarà necessario utilizzare nelledimostrazioni sui valori della probabilità solo intervallini semiapertiSi noti che (i) ed (ii) della definizione di spazio di probabilità continuosono l’analogo di (1) e (2) nella definizione 13. L’additività numerabileinvece è qui una conseguenza delle proprietà di additivitàdell’integrazione rispetto al dominio. Verificheremo per semplicità solol’additività finita.Lemma 16. In uno spazio di probabilità (R, f) se A, B ∈ C sonotali che ∪ I∈A I = ∪ J∈B J allora P f (A) = P f (B).Dimostrazione. Si noti che l’intersezione di due intervallini semiapertinon disgiunti è un intervallino semiaperto. Se A = {I 1 , . . . , I n }e B = {J 1 , . . . , J k } allora {L i,j = I i ∩ J j , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k} ∈ Ce per l’additività dell’integrale rispetto al dominion∑∫n∑ k∑∫k∑∫P f (A) = f(x)dx =f(x)dx = f(x)dx = P f (B)I i L i,j J ji=1i=1j=1in cui la seconda e la terza uguaglianza dipendono dal fatto che seun intervallo ]a, b] è unione finita di intervallini ]a i , b i ] disgiunti alloraquesti si possono ordinare in modo che b i = a i+1 en∑∫ bi∫ ba if(x)dx = f(x)dx.i=1Uno spazio di probabilità (R, f) può essere utilizzato per definirela distribuzione di una variabile aleatoria continua.a iaj=1□