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6.1. VARIABILI ALEATORIE CONTINUE 64Definizione 25. Si dice che una variabile aleatoria continua X hadistribuzione (R, f) se per ogni A ∈ C vale∫P (X ∈ A) = f(x)dx.In tal caso f è detta la densità di X.Si noti che l’espressione di sinistra è soltanto formale in quanto nonè stato definito lo spazio di probabilità su cui è definito X e su cuiagisce P . Diremo anche che P (X ∈ [a, b]) = P (X ∈]a, b]).Esempio 60. Una variabile aleatoria con densità f(x) = I [0,1] èdetta uniforme in [0, 1]. In generale, la variabile aleatoria con densitàf(x) = 1b−a I [a,b] è detta uniforme in [a, b] e si indica X ∼ U([a, b]).Esempio 61. Una variabile aleatoria con densità f(x) = √ 12πe −x2 /2è detta Gaussiana o normale standard. In generale, la variabilealeatoria con densità f(x) = √ 12πσe −(x−µ)22σ 2 è detta gaussiana o normaledi parametri m e σ 2 (vedremo nel prossimo capitolo il significato)e si usa la notazione X ∼ N(µ, σ 2 ) (e talvolta X ∼ N(µ, σ), quindibisogna sempre chiarire bene se il secondo termine in parentesi è lavarianza o la deviazione standard). Si noti che non esiste una formaelementare per la primitiva della Gaussiana e che solo l’integrale sututto R si può calcolare mediante il cambio di variabili in coordinatepolari: detto I = ∫ +∞ /2−∞ e−x2 dx si haI 2 =∫ +∞−∞e −x2 /2 dx∫ +∞−∞Ae −y2 /2 dx =∫ 2π ∫ +∞00re −r2 /2 drdθ = 2π.Definiamo ora il valore atteso di una variabile aleatoria continua.Definizione 26. Data una variabile aleatoria continua X con densitàf si dice valore atteso di f:se esisteE(X) =E(|X|) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞xf(x)dx|x|f(x)dx < ∞;per ogni funzione reale di variabile reale g si hase esisteE(g(X)) =E(|g(X)|) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞g(x)f(x)dx|g(x)|f(x)dx < ∞.Con questa definizione valgono tutte le proprietà viste per il valoreatteso, la varianza e la deviazione standard di variabili aleatorie.