parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

4.6. APPROSSIMAZIONE DI POISSON 514.6. Approssimazione di PoissonVediamo ora un’approssimazione per la distribuzione binomiale quandola probabilità di successo p ed il numero di prove n sono tali che pnè dell’ordine di 1:Esempio 51. Sorteggiando con reinserimento dalla tombola 180volte la probabilità che l’1 esca esattamente 2 volte è :P(2, 180, 1 ( ) 180 190 ) = 2 90 (89 2 90 )178 .Teorema 13 (Approssimazione di Poisson). Se p = p n è tale chelim n→∞ np n = λ > 0 si halim P(k, n, p n) = λkn→∞ k! e−λ .Dimostrazione. poiché lim n→∞ (1 − p n ) n = e −λ si ha( nP(k, n, p n ) = (p n )k)k (1 − p n ) n−k=n(n − 1) . . . (n − k + 1)k!(p k n)(1 − p n ) n (1 − p n ) −k→ n→∞λ kk! e−λ □