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2.7. TEOREMA DI DE MOIVRE-LAPLACE 22a 1 , a 2 ∈ R con a 1 ≤ a 2 . poiché ∫ ∞−∞√12πe − x22 dx = 1 segue per simmetriache ∫ +∞√10 2πe −c e −x2 /2 dx = 1 2qualche c ∈ R. Quindilim Q n(a, +∞) = limn→∞ n→∞∑n/2+a/2 √ n≤j= lim 1/2 − √ c −n→∞ n= 1/2 −=∫ +∞a∫ a0= ∑ n/2≤jP(j, n, 1/2)1√2πe −x2 /2 dx1√2πe −x2 /2 dxP(j, n, 1/2) +c √ n∑n/2≤j≤n/2+a/2 √ nP(j, n, 1/2)Essendo valido questo ragionamento anche per valori negativi, siconclude che il Teorema di De Moivre Laplace vale per qualsiasi a 1 , a 2in ¯R esteso.Osservazione 4. Si noti che nella dimostrazione del teorema si èottenuto non solo il limite richiesto, ma anche delle stime dall’alto edal basso di Q n (a 1 , a 2 ). Gli errori sono però solitamente piccoli, del-√l’ordine di e a3 2nmoltiplicativamente e √ 22πnadditivamente che in praticaè possibile trascurarli senza alterare sensibilmente l’approssimazione diQ. Pertanto abitualmente, occasionalmente senza prestare sufficientecura, si approssima Q n (a 1 , a 2 ) con ∫ a 2√1a 1 2πe −x2 /2 dx.Questa tecnica ci permette quindi di approssimare i valori relativialla probabilità che il numero di successi in prove indipendenti conprobabilità di successo 1/2 sia compresa in un certo intervallo di valori,che, come ora vedremo, può suggerire una risposta molto precisa alproblema iniziale sulle monete.Come si era visto, la probabilità di ogni singolo risultato è piccolase il numero di prove è grande, e quindi non permette di per sè divalutare la plausibilità di quel numero di teste. Invece la probabilitàdi un numero di teste minore o uguale ad un dato valore ¯k cambiadrasticamente, essendo attorno ad 1/2 per ¯k vicino ad n/2 e vicino a0 per ¯k molto piccolo. Quindi questa probabilità ci può permettere didistinguere tra i risultati plausibili e quelli che non lo sono.Esempio 20. Se si sono ottenute 460 teste su 1000 lanci di unamoneta, la probabilità di ottenere un numero di testi minore o ugualea quello ottenuto è stimabile come segue. Se S 1000 è il numero di testeottenute in 1000 monete, vogliamo stimareP (S1000 ≤ 460) = Q n (−∞, a)per