parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.2. FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE 66Descriviamo ora alcune proprietà delle funzioni di distribuzione,una delle quali differenzia le variabili discrete da quelle continue.Teorema 14. Se X è una variabile aleatoria (discreta o continua)allora(1) F X è non decrescente in t.(2) lim t→−∞ F X (t) = 0(3) lim t→∞ F X (t) = 1(4) F X è continua da destra.Inoltre, se X è una variabile aleatoria discreta allora(5a) se (a, b] non contiene punti di discontinuità di F X allora F X ècostante in (a, b].Se invece X è una variabile aleatoria continua con densità f X allora(5b) F X è continua e F X ′ (t) esiste per tutti i punti t tranne al più unnumero finito ed è continua.In tutti i punti t di continuità di f X vale F X ′ (t) = f X(t)Dimostrazione.(1) Chiaramente {s : X(s) ≤ t} ⊆ {s : X(s) ≤ u} per tutti i t ≤ uda cui la diseguaglianza sulle probabilità .(2) Per le variabili discretelim F X(t) = lim P (X ≤ t)t→−∞ t→−∞∑= lim P X (x) = 0t→−∞x∈S X :x≤tin quanto la sommatoria nell’ultima espressione è il resto di una serieconvergente; mentre per le variabili continuelim F X(t) = limt→−∞ t→−∞per definizione di integrale improprio.(3) Si ha∫ t−∞f X (x)dx = 0lim F X(t) = 1 − lim P (X > t) = 1t→∞ t→−∞per gli stessi motivi del punto precedente.(4) Vale lim u↘t F X (u) − F X (t) = lim u↘t P (t < X ≤ u) = 0; pervariabili discrete in quanto anche in questo caso, dopo aver riordinatola serie, si tratta del resto di una serie convergente. Per le variabilicontinue, se f è continua in t alloraP (t < X ≤ u) =∫ utf X (x)dx = max{f(x) : x ∈ [t, u]}(t − u) → 0;altrimenti il risultato vale per definizione di integrale improprio in t.