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5.3. VETTORI ALEATORI E VARIABILI ALEATORIE CONGIUNTE 60Esercizio 23. Dimostrare tramite un esempio che l’opposto nonè vero e vi sono distribuzioni congiunte diverse che danno luogo allestesse marginali.L’indipendenza delle variabili aleatorie si può esprimere in terminidel rapporto tra le distribuzioni congiunta e marginali, nel sensoche le componenti di un vettore aleatorio X= (X 1 , . . . , X n ) sonoindipendenti se e solo sen∏P X (x) = P Xi (x i )i=1per tutti gli x= (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n . Quindi nel caso indipendente lemarginali permettono la ricostruzione della distribuzione congiunta.Se di una o più variabili conosciamo il valore assunto abbiamo delledistribuzioni condizionali.Definizione 21. Dato un vettore aleatorio X= (X 1 , . . . , X n ), perk = 1, . . . , n, se (x 1 , . . . , x k ) è tale che P (X 1 = x 1 , . . . , X k = x k ) ≠ 0,si dice distribuzione condizionata o condizionale di X k+1 , . . . , X ndato che (X 1 , . . . , X k ) = (x 1 , . . . , x k ) lo spazio di probabilità costituitodaeS Xk+1 ,...,X n|(X 1 ,...,X k )=(x 1 ,...,x k )= {(x k+1 , . . . , x n ) : (x 1 , . . . , x k , x k+1 , . . . , x n ) ∈ S X }P Xk+1 ,...,X n|X 1 ,...,X k((x k+1 , . . . , x n )|(x 1 , . . . , x k ))=P X (x)P (X 1 = x 1 , . . . , X k = x k )Naturalmente si può prendere S Xk+1 ,...,X n|(X 1 ,...,X k )=(x 1 ,...,x k ) = R n−k .Esercizio 24. Verificare che la coppia definita nella definizioneprecedente è uno spazio di probabilità .Naturalmente la medesima definizione si poteva dare permutandogli indici. Dal teorema delle probabilità totali si vede cheP (X 1 = x 1 , . . . , X n = x n )∑=P Xk+1 ,...,X n|X 1 ,...,X k((x k+1 , . . . , x n )|(x 1 , . . . , x k ))(x 1 ,...,x k )∈S X1 ,dots,X k·P (X 1 = x 1 , . . . , X k = x k ).Per k = 1 questa osservazione indica come ricostruire la distribuzionecongiunta dalla conoscenza delle distribuzioni condizionate e della relativamarginale.