parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

2.2. CALCOLO COMBINATORIO 8Esempio 7. Calcoliamo la probabilità di uscita di un numero (diciamoil 23) su una certa ruota nel lotto (in cui si estraggono senzareinserimento 5 numeri da 90). Se A è l’evento che esce il 23 Si puòprendere come insieme S l’insieme delle disposizioni di 90 elementi a5 a 5, e poi contare i casi favorevoli all’evento. Si ha:P (A) = 5 D 89,4D 90,5=5 89! 85!85! 90!)= 5 ( 8990 = 4( 90).5Esempio 8. La probabilità di due volte la faccia 6 lanciando duedadi è 1/36.Osservazione 1. Ad un’osservazione più accurata, gli eventi descrittinei due esempi precedenti andrebbero meglio specificati; infattinon abbiamo chiarito se i numeri del lotto siano estratti insieme o unodopo l’altro, così come non abbiamo detto se i dadi siano distinguibili(ad esempio colorati) o totalmente indistinguibili. Questo ha ripercussionisulla scelta di S, per decidere se in esso occorra distinguerel’ordine o meno. Consideriamo ad esempio i due dadi: se li consideriamodistinguibili si avranno D (r)6,2 = 36 possibili disposizioni con ripetizionialtrimenti dovremmo considerare le C (r)6,2 = 21 combinazioni conripetizione. Non vi è nessun ragionamento elementare che permette discegliere logicamente tra queste due possibilità e quindi occorre scioglierel’ambiguità con qualche ragionamento aggiuntivo. In primo luogo, lameccanica suggerisce che la colorazione dei dadi non dovrebbe influenzarneil moto, quindi nulla dovrebbe cambiare tra dadi con colori diversio uguali; in secondo luogo, l’esperienza di molti esperimenti suggerisceche i due dadi vadano comunque considerati diversi, in modo che 36 èla cardinalità appropriata per S.Queste ed altre osservazioni ci portano a fare un’ipotesi che manterremoper tutto lo sviluppo successivo: nel mondo macroscopicotutti gli oggetti si comportano come se fossero distinguibili.La stessa ipotesi non viene mantenuta nel mondo microscopico, ad esempiodalla statistica di Bose-Einstein, ma di questo non ci occupiamoper ora.Una conseguenza di questa ipotesi è che nella teoria per il mondomacroscopico non utilizzeremo le dispozioni con ripetizione.Un’altra conseguenza è che anche i numeri della tombola o del lottovanno considerati distinguibili, sia che questi siano estratti insieme siache siano estratti uno dopo l’altro, e questo è il motivo per cui nonè necessario specificare questi dettagli. Tuttavia, quando l’estrazioneè senza reinserimento, ossia nel caso delle combinazioni, il numerodi configurazioni che viene a coincidere quando si ignora l’ordine èun fattor comune, quindi qui si possono usare indifferentemente combinazionio dispozioni, a patto di essere consistenti tra numeratore edenominatore (come visto nell’esempio 7).