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2.4. INDIPENDENZA 121/3, P (C) = 1/2 e P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = 1/6 per cui A e B sonoindipendenti e A e C non lo sono.Il concetto di indipendenza è però molto utile non quando si deveverificare l’indipendenza dalla definizione, come nell’ultimo esempio,ma quando l’indipendenza si deriva da qualche altra informazione e siutilizza la formula (2.2), ossia P (A ∩ B) = P (A)P (B), per calcolareP (A ∩ B) dagli altri due valori.In taluni casi l’indipendenza di certi eventi si può desumere da unrisultato teorico, come per l’indipendenza dei complementi nel prossimoteorema, ma più spesso è la situazione che si sta modellizzando che suggeriscel’indipendenza di certi eventi: così per esempio eventi relativi amazzi di carte mescolati diversi o a diverse estrazioni con reinserimentosono da ritenersi indipendenti e sarebbe utile poter sfruttare questainformazione senza dover verificare l’indipendenza all’interno del modello.In altre parole, sarebbe comodo sapere a priori che esiste unospazio di probabilità in cui ci sono eventi indipendenti con probabilitàqualsiasi, in modo che esso può fare da modello per la nostra situazione.Dimostreremo un teorema abbastanza generale quando avremo estesoil concetto di probabilità (vedi Teorema 4).Esempio 14. Due lanci ripetuti di dado sono indipendenti, quindise A indica l’uscita di due 3 e A i , i = 1, 2, indica l’uscita del 3 all’i-simodado, allora A = A 1 ∩ A 2 e P (A) = P (A 1 )P (A 2 ) = 136 .Esempio 15. Anche n lanci ripetuti di dado sono collettivamenteindipendenti, quindi se A indica l’uscita del 3 in tutti i dadi e A i , i =1, . . . , n, indica l’uscita del 3 all’i-simo dado, allora P (A) = ∏ ni=1 P (A i) =1.6 nVediamo ora che l’indipendenza collettiva di eventi implica l’indipendenzacollettiva di parte degli eventi con i complementari degli altri.Teorema 1. Dati eventi A 1 , . . . , A n ⊆ S collettivamente indipendentiin uno spazio di probabilità (S, P ), indicando con A 1 i = A i e conA 0 i = A c i, si ha che per ogni α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ {0, 1} n , gli eventiA α 11 , . . . , A αnn sono collettivamente indipendenti.Dimostrazione. Una dimostrazione si può fare per induzione sun.Per n = 2 verifichiamo prima che l’affermazione è vera per α =(1, 0), ossia per A 1 = A 1 1 e A c 2 = A 0 2. Si ha che, essendo A 1 ∩ A 2 ⊆ A 1 ,valeP (A 1 ∩ A c 2) = P (A 1 \(A 1 ∩ A 2 ))= P (A 1 ) − P (A 1 ∩ A 2 )= P (A 1 ) − P (A 1 )P (A 2 )= P (A 1 )(1 − P (A 2 )) = P (A 1 )P (A c 2)