parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.4. DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DI DUE VARIABILI ALEATORIE 70per ogni evento A ammissibile si haP ((X, Y ) ∈ A) = ∑ Ap X,Y (x, y)per il caso discreto e∫P ((X, Y ) ∈ A) =Af X,Y (x, y)dxdyper il caso continuo. La funzione F X,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =P ((X, Y ) ∈ (−∞, x] × (−∞, y]) è detta funzione di distribuzionecongiunta.Si noti che gli integrali utilizzati in questa definizione sono integralidi Riemann (eventualmente impropri) in dimensione 2 e sono bendefiniti essendo le funzioni coinvolte continue su insiemi normali. Inoltre,nei punti in cui la funzione di distribuzione F X,Y è differenziabile,dal teorema fondamentale del calcolo integrale si haf X,Y (x, y) = ∂2 F X,Y (x, y).∂x∂yDefinizione 30. Data la distribuzione congiunta di due variabilialeatorie X ed Y , la distribuzione di X si ottiene considerando ladistribuzione marginale la cui densità f X soddisfap X (x) = P (X = x) = ∑ S Yp X,Y (x, y),infatti essendo gli eventi {Y = y} al variare di Y ∈ S Ysi hauna partizioneP (X = x) = P ((X = x) ∩ ∪ y∈SY (Y = y)) = ∑ y∈YP ((X = x) ∩ (Y = y).Per il caso continuo si pone quindi:∫f X (x) = f(X, Y )dy.RDa questo punto di vista p X = P X , f X e le analoghe p Y = P Y ed f Ysono dette densità marginalidi X ed Y rispettivamente.Per cui dalle congiunte si determinano le distribuzioni marginali.Esempio 67. Sia f = c · I T in cui T è il triangolo{x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : 0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1 − x 1 }.