parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

6.5. VETTORI ALEATORI CONTINUI 78Dimostrazione. Utilizzando l’induzione su n, è sufficiente dimostrarel’asserzione per n = 2:∫E(X 1 + X 2 ) = (x 1 + x 2 )f(x)dxR∫2 ∫∫ ∫= ( x 1 f(x)dx 2 )dx 1 + ( x 2 f(x)dx 1 )dx 2R RR R∫∫= x 1 f X1 (x 1 )dx 1 + x 2 f X2 (x 2 )dx 2 = E(X 1 ) + E(X 2 )RL’indipendenza delle variabili aleatorie continue si può esprimerein termini del rapporto tra densità congiunta e marginali, nel sensoche le componenti di un vettore aleatorio X= (X 1 , . . . , X n ) sonoindipendenti se e solo sen∏f X (x) = f Xi (x i )i=1per tutti x= (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n . Anche per le variabili continuele marginali permettono la ricostruzione della distribuzione congiuntaquando le variabili siano indipendenti.Lemma 23. Se le variabili aleatorie continue X i , i = 1, . . . , n sonoindipendenti alloran∏n∏E( X i ) = E(X i ).Dimostrazione.n∏E( X i ) =i=1==i=1∫∫n∏R n i=1∏ nR n i=1n∏∫i=1Ri=1x i f(x)dx(x i f Xi (x i ))dxR n x i f Xi (x i )dx i =n∏E(X i )Anche per le variabili continue è possibile definire le distribuzionicondizionali.Definizione 37. Dato un vettore aleatorio X= (X 1 , . . . , X n ),per k = 1, . . . , n, se (x 1 , . . . , x k ) è tale che la densità marginale soddisfaf (X1 ,...,X k )(x 1 , . . . .x k ) ≠ 0, si dice distribuzione condizionatadi X k+1 , . . . , X n dato che (X 1 , . . . , X k ) = (x 1 , . . . , x k ) lo spazio dii=1□□