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6.5. VETTORI ALEATORI CONTINUI 76Teorema 15. Per ogni coppia di variabili aleatorie X ed Y consecondo momento finito si ha−1 ≤ r(X, Y ) ≤ 1;inoltre r = 1 se e solo se Y = cX + d con c > 0 ed r = −1 se e solo seY = −cX + d con c > 0.Dimostrazione. La dimostrazione che segue può essere letta indue modi, prima considerando solo i simboli in alto poi quelli in bassonelle coppie ± e ∓. Si ha che0 ≤ E( ¯X ± Ȳ )2 = E( ¯X 2 ) + E(Ȳ 2 ) ± 2E( ¯XȲ ) (6.27)= 2 ± 2r(X, Y ).Questo implica che−1 ≤ r(X, Y ) ≤ 1;inoltre, se r(X, Y ) = ∓1 vale il segno di uguaglianza in (6.27) per cuiE( ¯X ± Ȳ )2 = 0. Poiché ( ¯X ± Ȳ )2 ≥ 0 ne discende che ¯X = ∓Ȳ e diconseguenzaY = ∓ SD(Y )SD(X) X − SD(Y ) E(X) + E(Y ) = ∓cX + dSD(X)con c = SD(Y )SD(X) ≥ 0.6.5. Vettori aleatori continuiAnche per il caso continuo introduciamo i vettori aleatori, naturalmenteattraverso le loro densità congiunta. Per semplicità ammettiamoinsiemi di possibili discontinuità lineari.Definizione 35. Uno spazio di probabilità continua in R n è unacoppia (R n , f) in cui f : R n → R è una funzione continua tranne alpiù un insieme costituito da un numero finito di iperpiani tale che(i) f(x) ≥ 0 per ogni x∈ R n .(ii) ∫ f(x)dx = 1R nSi dice che un vettore aleatorio continuo X= (X 1 , . . . , X n ) n-dimensionale∏ha distribuzione (R n , f X ) se per ogni plurirettangolo A =ni=1 (a i, b i ] si ha∫P (X ∈ A) = f X (x)dx.La distribuzione di un vettore aleatorio X= (X 1 , . . . , X n ) è detta anchedistribuzione congiunta delle X i e la funzione f X (x) è dettadensità congiunta.Si noti che gli integrali utilizzati in questa definizione sono integralidi Riemann (eventualmente impropri) in dimensione n e sono bendefiniti essendo le funzioni coinvolte continue su insiemi normali. Sipossono ripetere ora molte definizioni e proprietà dei vettori aleatoridiscreti.A□