parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

4.3. INDIPENDENZA TRA VARIABILI ALEATORIE 42Gli eventi {X = x} sono disgiunti per definizione di funzione, quindiper l’indipendenza degli X iP (X 1 ∈ A 1 , . . . , X n ∈ A n ) ====∑P (X = x)x 1 ∈A 1 ,...,x n∈A n∑n∏x 1 ∈A 1 ,...,x n∈A n i=1n∏i=1∑P (X i = x i )P (X i = x i )x 1 ∈A 1 ,...,x n∈A nn∏P (X i ∈ A i )i=1(II) segue da (I) con{xi se i ∈ JA i =se i /∈ JS XiessendoP (X i = x i se i ∈ J) = P (X i = x i se i ∈ J e X j ∈ S Xj se j /∈ J)= ∏ i∈JP (X i = x i ) ∏ j /∈JP (X j ∈ S Xj )= ∏ i∈JP (X i = x i )(III) segue da (II) prendendo X i = I Ai .□Quindi la richiesta di fattorizzazione delle probabilità per tutti i valoridel codominio delle variabili aleatorie include già la fattorizzazionedelle stesse espressioni per sottinsiemi di funzioni.Vediamo ora che funzioni di variabili aleatorie indipendenti sonoancora indipendenti, nel senso cheTeorema 8. Date variabili aleatorie indipendenti X 1 , . . . , X n definitesu uno spazio di probabilità (S, P ) e due funzioni φ : C → R eψ : D → R tali che S X1 ×S X2 ×· · ·×S Xk ⊆ C e S Xk+1 ×· · ·×S Xn ⊆ D siha che T = φ(X 1 , . . . , X k ) e Z = ψ(X k+1 , . . . , X n ) sono indipendenti.