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CAPITOLO 3PROBABILITÀ SU INSIEMI FINITI3.1. Spazi di probabilità su insiemi finitiNel caso delle probabilità uniformi ci trovavamo di fronte ad alternativetutte equivalenti. Tuttavia negli calcoli successivi abbiamo presoun valore p qualsiasi ed abbiamo ricavato formule (come la distribuzionedi Bernoulli) in dipendenza di questo p.Viene quindi naturale di considerare delle probabilità che non venganoda conteggi di insiemi, ma siano semplicemente dei valori in [0, 1] soddisfacentia certe regole, anche perché così si possono fare modelli persituazioni in cui non ci sono elementi da contare (tipo la probabilitàche un tiro faccia centro o che una misura ecceda di una certa frazioneil valore vero).Rimaniamo comunque per ora su un insieme finito e richiediamoper la probabilità che soddisfi alcune delle proprietà che abbiamo verificatoessere vere nel caso uniforme. In particolare, scorrendo quantoverificato nel caso uniforme, si vede che la proprietà principale da cuiderivano tutte le altre è la (2) del lemma 2, ossia quella secondo cui seA ∩ B = ∅ allora P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Assumiamola quindi comeipotesi:Definizione 3. Dato un insieme finito S si dice probabilità (finita)su S ogni funzione P definita sui sottinsiemi di S tale che:(1) P (S) = 1(2) per ogni A ⊆ S, P (A) ∈ [0, 1];(3) se A ∩ B = ∅ allora P (A ∪ B) = P (A) + P (B).Si possono ricavare tutte le proprietà viste per le probabilità uniformivalgono anche per le probabilità finite. Così in particolare valela formula della distribuzione di Bernoulli, adesso definita per ogni panche non razionale.Anche se la definizione precedente sembra assai generale i modelliche determina sono facilmente identificabili:Esercizio 10. Verificare che P è una probabilità su un insiemefinito S se e solo se esiste una funzione∑non negativa f su S tale cheper ogni evento A ⊆ S, P (A) = ∑s∈S f(s)s∈S f(s).Osservazione 6. Finora abbiamo visto quindi due definizioni: primala probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e24