parte I.pdf (relativa corso ingegneria)

per cuisi haDae2.6. STIME DI PROBABILITÀ E STATISTICA 17limn→∞Dimostrazione. Studiamosi ha chePer cui, ponendo n+1n!= 1.e c n n+1/2 e−n d n = log(n!) − [(n + 1/2) log(n) − n];d n − d n+1 = (n + 1/2) log( n + 1n ) − 1.log(1 + x) = x − x22 + x33 + . . .1log(1 − x ) = x + x22 + x33 + . . . ,log( 1 1 + x2 1 − x ) = x + x33 + x55 + . . .=1+ 12n+1n 1− 12n+1si had n − d n+1 =2(n + 1/2)(2n + 1 + 23(2n + 1) + . . . ) − 1 3 (2.3)=13(2n + 1) + 15(2n + 1) + · · · ≥ 0.4Dalla (2.3) si ha ched n − d n+1 ≤ ∑ 1k=1((2n + 1) 2 )k=1 1(2n + 1) 2 3(1 − 11=3(4n 2 + 4n)1=12n 2 + 12n= 112n − 112(n + 1) .(2n+1) 2 )(2.4)Pertanto la successione d n − 1 è crescente in n. poiché da (2.3) la12nsuccessione d n è decrescente in n, quindi limitata, si ha che d n − 112nè anch’essa limitata, ed essendo crescente, ha limite: esiste c ∈ R talechelim d n − 1n→∞ 12n = lim d nn→∞= sup d n − 1n 12n = c;