algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

3.3. SPRENDINIŲ STABILUMAS PAGAL LIAPUNOVA ˛
107
Laisvai pasirenkame skaičiu˛ ε > 0. Tada egzistuoja toks t 1 > t 0 , kad
∫ t
Pasinaudoję šia nelygybe, gauname
t 0
‖C(s)‖ ds≤ε(t − t 0 ), ∀t ≥ t 1 .
‖x(t)‖ ≤ nK‖x 0 ‖e nKM e −(t−t0)(λ−εnK) , ∀t ≥ t 1 .
Imkime skaičiu˛ ε tokį, kad λ − εnK > ρ > 0. Tada
‖x(t)‖ ≤ nK‖x 0 ‖e nKM e −(t−t0)ρ → 0,
kai t → ∞. Iš šios įverčio išplaukia, kad (3.26) sistema yra asimptotiškai stabili. ⊲
P a s t a b a . 3.8 bei 3.9 teoremose pastoviąją matricą A pakeisti kintamąja matrica
negalima. Pavyzdžiui, tiesiniu˛ lygčiu˛
ẋ = −x/t, ẋ = x/t, t > 0
koeficientu˛ −1/t ir 1/t skirtumas −2/t yra nykstanti, kai t → ∞, funkcija. Tačiau
pirmoji lygtis yra asimptotiškai stabili, kai t → ∞. Jos bendrasis sprendinys x = c/t.
Antroji lygtis yra nestabili, kai t → ∞. Jos bendrasis sprendinys x = ct.
Tarkime dabar, kad (3.21) sistemoje matrica A(t) yra ω-periodinė, ω > 0. Šiame
skyrelyje ją toliau žymėsime P (t), o pačią sistemą perrašysime taip:
ẋ = P (t)x. (3.28)
Pagal 2.14 teoremą (3.28) sistemos fundamentaliąją matricą galima išreikšti formule
Φ(t) = B(t)e tA ; (3.29)
čia B(t) yra ω-periodinė, o A – pastovioji matricos. Tegu λ 1 , . . . , λ n yra matricos
A tikrinės reikšmės. Priminsime, kad jos vadinamos (3.28) sistemos charakteristiniais
rodikliais. Matricą A atitinka Žordano matrica J, t.y. egzistuoja tokia pastovioji
neišsigimusi matrica Q, kad A = QJQ −1 ; Iš čia ir (3.29) formulės išplaukia, kad
matrica
˜Φ(t) = Φ(t)Q = B(t)Qe tJ tJ
= ˜B(t)e
taip pat yra (3.28) sistemos fundamentalioji matrica. Todėl visi 3.7 teoremos teiginiai
išlieka teisingi, jeigu joje pastoviąją matricą A pakeisime ω-periodine matrica P (t), o
tikrines reikšmes λ 1 , . . . , λ n charakteristiniais rodikliais λ 1 , . . . , λ n . Priminsime, kad
charakteristiniai rodikliai
λ k = 1 ω Ln µ k, k = 1, . . . , n;
čia µ k yra (3.28) sistemos multiplikatoriai, t.y. monodromijos matricos tikrinės reikšmės.
Taigi yra teisinga tokia teorema.