algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 159
sprendiniai. Ketvirtasis taškas su koordinatėmis
yra tiesiu˛
p ∗ 1 = α 1γ 2 − α 2 ν 1
γ 1 γ 2 − ν 1 ν 2
, p ∗ 2 = α 2γ 1 − α 1 ν 2
γ 1 γ 2 − ν 1 ν 2
(4.20)
l 1 : α 1 − γ 1 p 1 − ν 1 p 2 = 0, l 2 : α 2 − ν 2 p 1 − γ 2 p 2 = 0
sankirtos taškas. Tarkime, kad toks taškas yra vienintelis. Atkreipsime dėmesį į tai,
kad tiesės l 1 taškuose ṗ 1 = 0, t.y. krypties vektoriai yra lygiagretūs p 2 ašiai, o tiesės l 2
taškuose ṗ 2 = 0, t.y. krypties vektoriai yra lygiagretūs p 1 ašiai.
Konkurentinėje kovoje abi populiacijos gali išgyventi tik tuo atveju, jeigu (4.19)
sistema turi pusiausvyros tašką su abiem teigiamom koordinatėm. Pirmojo pusiausvyros
taško abi koordinatės lygios nuliui. Antrojo ir trečiojo pusiausvyros tašku˛ viena
koordinatė lygi nuliui. Todėl abi populiacijos gali išgyventi tik tuo atveju, kai ketvirtojo
taško koordinatės yra teigiamos, t.y. kai tiesės l 1 , l 2 kertasi pirmame ketvirtyje (žr.
4.27, 4.28 pav.).
p 2 . .
•
p 2 . .
α 1 /ν 1
α 2 /γ 2
α 2 /ν 2 α 1 /γ 1
α 1 /ν 1
•
•
.
•.
..
p 1
α 2 /γ 2 •
•
• •.
α 1 /γ 1
.
α 2 /ν 2
..
p 1
1.27 pav.
1.28 pav.
Iš (4.20) formuliu˛ matome, kad p ∗ 1 > 0 ir p ∗ 2 > 0, jeigu
arba
α 1 γ 2 < α 2 ν 1 , α 2 γ 1 < α 1 ν 2 irγ 1 γ 2 < ν 1 ν 2
α 1 γ 2 > α 2 ν 1 , α 2 γ 1 > α 1 ν 2 irγ 1 γ 2 > ν 1 ν 2 .
Šios sąlygos apibrėžia tiesiu˛ l 1 , l 2 tarpusavio padėtį plokštumoje. Todėl pakanka išnagrinėti
atvejį, kai yra patenkinta kuri nors viena iš šiu˛ sąlygu˛. Tarkime, patenkinta
pirmoji sąlyga (žr. 4.27 pav.).
Linearizavę (4.14) sistemą taško p = (p 1 , p 2 ) aplinkoje, gausime matricą
( )
α1 − ν
A(p) =
1 p 2 − 2γ 1 p 1 −ν 1 p 1
.
−ν 2 p 2 α 2 − ν 2 p 1 − 2γ 2 p 2
Imdami p pusiausvyros taškus, gausime matricas
A(0, 0) =
⎛
( )
α1 0
(
, A 0, α )
2
= ⎝ α 1 − ν 1α 2
⎞
0
γ 2
0 α 2 γ 2 − ν ⎠
2α 2
,
−α 2
γ 2