algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

18 1. BENDROS SAVOKOS
˛
1.14 paveikslėlį).
..
• .
..
•
. a
b
.
• .
. •
. c
1.14 pav.
d
Pusiausvyros taškas a vadinamas atraktoriumi , taškai b ir c – šuntu, o taškas d – repeleriu.
A p i b r ė ž i m a s . Sakysime, skirtingos diferencialinės lygtys yra kokybiškai
ekvivalenčios, jeigu jos turi tą patį fazinį portretą, t.y. turi vienodą skaičiu˛ ta pačia
tvarka išsidėsčiusiu˛ pusiausvyros tašku˛.
Pavyzdžiui, lygtys:
ẋ = x, ẋ = x 3
yra kokybiškai ekvivalenčios. Jos turi vieną pusiausvyros tašką – repelerį. Lygtys:
ẋ = (x + 2)(x + 1), ẋ = x 2 − 1
taip pat yra kokybiškai ekvivalenčios. Jos turi po du pusiausvyros taškus. Vienas iš ju˛
yra atraktorius, o kitas – repeleris. Be to, atraktoriu˛ atitinka mažesnioji reikšmė (žr.
1.15 pav.).
Lygtys:
• • • •
−2 −1 −1 1
..
. . . . . 1.15 pav.
ẋ = −(x + 2)(x + 1), ẋ = x 2 − 1
nėra kokybiškai ekvivalenčios. Jos turi po du pusiausvyros taškus: atraktoriu˛ ir repelerį.
Tačiau jie yra išsidėstę priešinga tvarka (žr. 1.16 pav.).
• • • •
−2 −1 −1 1
. . . . . . 1.16 pav.
Diferencialinės lygtys gali turėti be galo daug pusiausvyros tašku˛ (pvz. lygtis ẋ =
sin x). Todėl skirtingu˛ faziniu˛ portretu˛ taip pat gali būti be galo daug. Tačiau, bet kuris
fazinis portretas gali turėti ne daugiau kaip keturis skirtingus pusiausvyros taškus.