algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

140 3. NETIESINĖS SISTEMOS
10. Įrodykyte, kad netiesinė sistema
ẋ 1 = 1 − x 1 x 2 , ẋ 2 = x 1
neturi ribiniu˛ ciklu˛.
11. Raskite sistemu˛ pusiausvyros taškus. Nubrėžkite ju˛ aplinkoje lokalius fazinius
portretus.
a) ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −ax 2 − b sin x 1 ;
b) ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −a(1 − x 2 1)x 2 − bx 1 ;
čia a ≥ 0, b > 0.
12. Raskite sistemos
ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = −x 1 + (1 − x 2 1 − x 2 2)
periodinius sprendinius.
N u r o d y m a s . Įrodykite, kad kiekvienoje uždaroje trajektorijoje
∫
(1 − x 2 1 − x 2 2) dt = 0.
Todėl, jeigu 1 − x 2 1 − x 2 2 ≢ 0, tai reiškinys 1 − x 2 1 − x 2 2 trajektorijoje keičia
ženklą.
13. Tegu f – lyginė dalimis tolydi funkcija, o g nelyginė C 1 klasės funkcija tokia,
kad g(x) > 0, kai x > 0. Be to, tegu
F (x) =
∫ x
f(s) ds, G(x) =
∫ x
g(s) ds,
0
0
F – monotoniškai didėjanti funkcija ir egzizstuoja toks teigiamas skaičius a,
kad F (x) < 0, kai x ∈ (0, a) ir F (x) > 0, kai x > a. Tarkime toliau, kad
F (x) → ∞ ir G(x) → ∞, kai x → ∞. Įrodykite, kad paprastoji diferencialinė
lygtis
ẍ + f(x)ẋ + g(x) = 0
turi vienintelį netrivialu˛ periodinį sprendinį ir jis yra stabilus.