algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

126 3. NETIESINĖS SISTEMOS
Polinėse koordinatėse x 1 = r cos ϕ, x 2 = r sin ϕ ją galima perrašyti taip:
ṙ = r(r 2 − 1),
˙ϕ = 1.
Šioje sistemoje kintamieji atsiskiria ir gautos lygtis lengvai integruojamos. Pirmoji
lygtis turi du atskirus sprendinius r = 0 ir r = 1. Kai r 0 ∈ (0, 1) sprendinys r =
r(t, r 0 ), t ∈ R monotoniškai mažėja nuo 1 iki 0, o kai r 0 > 1 monotoniškai auga nuo
1 iki ∞. Antrosios lygties sprendinys ϕ = t + ϕ 0 . Todėl visos trajektorijos, išskyrus
uždaras trajektorijas r = 0 ir r = 1, yra spiralės. Jos nusivynioja nuo apskritimo
r = 1. Jeigu r 0 > 1, tai trajektorijos artėja į begalybę, kai kampas ϕ → ∞. Jeigu
r 0 < 1, tai trajektorijos artėja į nulį, kai kampas ϕ → ∞. Koordinačiu˛ pradžios
taškas yra pusiausvyros ir kartu ω-ribinis taškas visoms trajektorijoms, kai r 0 < 1.
Atkreipsime dėmesį į tai, kad koordinačiu˛ pradžios taškas yra asimptotiškai stabilus,
nors nagrinėjamos sistemos tiesinės dalies matrica
( )
0 −1
A =
1 0
turi grynai menamas tikrines reikšmes λ 1,2 = ±i. Kai r 0 > 1, ω-ribiniu˛ tašku˛ aibė yra
tuščia. Apskritimas r = 1 yra uždara trajektorija ir kartu α-ribinė aibė visoms kitoms
trajektorijoms, išskyrus pusiausvyros taškus.
Tarkime toliau, kad n = 2. Nagrinėsime autonominę sistemą
ẋ = Ax + g(x); (3.48)
čia A ∈ R 2,2 – pastovioji matrica su kompleksinėmis tikrinėmis reikšmėmis λ 1,2 =
α ± iβ, β > 0; vektorinė funkcija g, kartu su savo išvestine g x , yra tolydžios taško x
aplinkoje B ε (0) = {x ∈ R 2 : |x| < ε.} Be to, tegu
g(x) → 0, (3.49)
kai |x| → 0. Ištirsime (3.48) sistemos trajektorijas pakankamai mažoje taško x = 0
aplinkoje.
Tegu q 1 , q 2 yra matricos A tikriniai vektoriai, atitinkantys tikrines reikšmes λ 1 , λ 2
ir Q = (q 1 , q 2 ). Tada keitinys x = Qy suveda (3.48) sistemą į paprastesnį pavidalą
ẏ = Jy + h(y);
čia J = diag{λ 1 , λ 2 }, h(y) = Q −1 g(Qy). Kadangi tikrinės reikšmės yra kompleksiškai
jungtinės, o matricos A elementai yra realūs, tai tikriniai vektoriai taip pat yra
kompleksiškai jungtiniai. Kartu galime tvirtinti, kad vektoriaus y koordinatės, o taip
pat funkcijos h koordinatės yra kompleksiškai jungtinės. Todėl, jeigu norime pereiti
prie realiu˛ sprendiniu˛, turime padaryti dar vieną keitinį y = Bu; čia
B =
( 1 i
1 −i
)
.