algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

3.2. SPRENDINIŲ LOKALUSIS STABILUMAS 95
A p i b r ė ž i m a s . Tegu y(t) = 0, t ∈ [t 0 , ∞) yra (3.12) sistemos trivialusis
sprendinys, kai ν = 0 ir y = y(t, y 0 , ν), t ∈ [t 0 , ∞) yra šios sistemos sprendinys, tenkinantis
pradinę sąlygą y(t 0 , y 0 , ν) = y 0 . Sakysime, trivialusis sprendinys yra lokaliai
stabilus, jeigu ∀ε > 0 egzistuoja δ 1 > 0, δ 2 > 0 tokie, kad
‖y(t, y 0 , ν)‖ < ε, (3.13)
kai ‖y 0 ‖ < δ 1 , ‖ν‖ < δ 2 .
P a s t a b a . Jeigu yra patenkinta (3.13) sąlyga ir funkcija F yra apibrėžta kokioje
nors trivialiojo sprendinio aplinkoje, tai kiekvieną sprendinį y(t, y 0 , ν) galima pratęsti
į visą intervalą [t 0 , ∞).
Tarkime toliau, kad funkcija f srityje D µ turi tolydžias dalines išvestines f x ir f µ .
Pagal Teiloro formulę
F (t, y, ν) = f x (t, ϕ(t), µ 0 )y + f µ (t, ϕ(t), µ 0 )ν + θ(t, y, ν);
čia funkcija θ ir jos dalinės išvestinės θ y , θ ν yra tolydžios srityje
U = {(t, y, ν) : t ∈ [t 0 , ∞), ‖y‖ < δ, ‖ν‖ < δ},
jeigu tik δ yra pakankamai mažas teigiamas skaičius ir
‖θ(t, y, ν)‖ = o(‖y‖ + ‖ν‖),
kai ‖y‖ → 0, ‖ν‖ → 0. Todėl (3.12) lygtį galima perrašyti taip:
ẏ = A(t)y + g(t, y) + h(t, y, ν), A(t) = f x (t, ϕ(t), µ 0 ); (3.14)
čia funkcijos g, h bei ju˛ dalinės išvestinės g y , h y , h ν yra tolydžios srityje U funkcijos
tokios, kad
‖h(t, y, ν)‖ ≤ M(t)‖ν‖, ‖g(t, y)‖ = o(‖y‖), ∀t ∈ [t 0 , ∞),
kai ‖y‖ → 0.
Atmetę (3.14) sistemoje netiesinius narius, gausime tiesinę sistemą
ẏ = A(t)y. (3.15)
Ji vadinama (3.14) sistemos pirmuoju artiniu ir sutampa su (3.11) sistemos variaciju˛
sistema kintamojo x 0 atžvilgiu. Norint atsakyti į klausimą, ar (3.14) sistemos trivialusis
sprendinys yra lokaliai stabilus, kartais pakanka ištirti tiesinę (3.15) sistemą.
3.4 teorema. Tarkime, matrica A(t) = A yra pastovioji ir jos tikriniu˛ reikšmiu˛ realiosios
dalys yra neigiamos. Be to, tegu
‖g(t, y)‖ ≤ ‖y‖ω(‖y‖), ‖h(t, y, ν)‖ ≤ M‖ν‖, ∀t ∈ [t 0 , ∞).
čia ω(δ) → 0, kai δ → 0, M – teigiama konstanta. Tada (3.14) sistemos trivialusis
sprendinys yra lokaliai stabilus.