algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

2.4. TIESINĖS SISTEMOS SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS 59
Tegu ϕ 1 , . . . , ϕ n ir q 1 , . . . , q n yra matricu˛ Qe tA ir Q stulpeliai. Tada
ϕ 1 = e tλ1 q 1 ,
.
ϕ s1 =
. (
e tλ1
. .
ϕ n−sm+1 = e tλm q n−sm+1,
.
ϕ n =
. (
e tλm
)
t s 1 −1
(s q 1−1)! 1 + . . . + tq s1−1 + q s1
t sm−1
(s m−1)! q n−s m+1 + . . . + tq n−1 + q n
).
Jeigu matrica A neturi kartotiniu˛ tikriniu˛ reikšmiu˛, t.y. s 1 = · · · = s n = 1, tai
vektoriai
ϕ i = e tλi q i , ∀i = 1, 2, . . . , n.
Vektoriai ϕ i turi tokį patį pavidalą ir tuo atveju, kai matrica A turi kartotines tikrines
reikšmes, tačiau kiekvieną kartotinę tikrinę reikšmę atitinkantis Žordano langelis yra
diagonalus. Vektorius q 1 , . . . , q n galima rasti iš sąlygos
AQ = QJ.
Tegu Φ(t) yra (2.11) sistemos fundamentalioji matrica ir matricos A tikriniu˛ reikšmiu˛
λ i realiosios dalys yra neigiamos. Tada galima rasti tokius teigiamus skaičius λ ir
K, kad
‖Φ(t)‖ ≤ Ke −tλ , ∀t ≥ t 0 . (2.14)
Iš (2.13) formulės išplaukia, kad (2.11) sistemos evoliucijos operatorius
Remiantis 2.5 teorema,
ϕ t = e tA .
det ϕ t = det e tA = e Tr tA = e t Tr A .
Todėl (2.11) sistemos fazinis srautas {ϕ t } per laiką t keičia bet kokios figūros tūrį
e t Tr A kartu. Pavyzdžiui, jeigu Tr A > 0, tai fazinis srautas bet kokį gretasienį
transformuoja į didesnio tūrio gretasienį, o jeigu Tr A < 0, tai į mažesnio tūrio gretasienį.
Tuo atveju, kai Tr A = 0, fazinis srautas bet kokį gretasienį transformuoja į to
paties tūrio gretasienį. Iš (2.9) formulės išplaukia, kad evoliucijos operatoriu˛ visuma
{ϕ t } yra erdvės R n tiesiniu˛ transformaciju˛ vienparametrinė grupė. Galima įrodyti ir
atvirkščią teiginį. Tiksliau yra teisinga tokia teorema.
2.7 teorema. Tegu {ϕ t } yra erdvės R n tiesiniu˛ transformaciju˛ vienparametrinė grupė.
Tada egzistuoja toks tiesinis operatorius A : R n → R n , kad ϕ t = e tA , ∀t ∈ R.
P a v y z d y s . Rasime sistemos
ẋ 1 = x 1 + x 2 ,
ẋ 2 = −x 1 + 3x 2