algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

46 2. TIESINĖS SISTEMOS
Jeigu λ > 0, tai |y 1 (t)| → ∞, |y 2 (t)| → ∞, kai t → ∞. Jeigu λ < 0, tai |y 1 (t)| → 0,
|y 2 (t)| → 0, kai t → ∞. Eliminavę iš pastaru˛ju˛ lygčiu˛ kintamąjį t, gausime sitemos
trajektoriju˛ lygtį
y 1 = c 1
c 2
y 2 + 1 λ y 2 ln y 2
c 2
.
Išvestinė dy 1 /dy 2 → ∞, kai y 2 → 0. Todėl visos trajektorijos liečia ašį y 1 koordinačiu˛
pradžios taške. Geometrinė vieta tašku˛, kuriuose trajektorijos keičia kryptį,
apibrėžiama lygtimi ẏ 1 = 0. Iš pirmosios sistemos lygties gauname, kad tai yra tiesė
l : λy 1 + y 2 = 0.
Fazinis sitemos portretas, kai λ < 0 ir λ > 0, pavaizduotas 2.6 ir 2.7 paveikslėliuose.
Abiem atvejais pusiausvyros taškas vadinamas išsigimusiu mazgo tašku.
y 2 . .
y 2 . .
..
.
... .
.
. .
..... l l
...
.
... . ...
..
.....
...................................
. ..
.
..................................
..... .................
.
y
.................
1
.
.. .
..
.
.
...................................
.
................................... .....
.
..
.
.. .
. .
..
.
..
y 1
2.6 pav. 2.7 pav.
Tarkime, tikrinės reikšmės yra kompleksiškai jungtinės: λ = α + iβ, λ = α − iβ.
Tai bus tada ir tik tada, kai D < 0. Šiuo atveju (2.3) sistemą galima perrašyti taip:
Įvedę polines koordinates
gausime sistemą
Jos sprendinys
Taigi
ẏ 1 = αy 1 + βy 2 , ẏ 2 = −βy 1 + αy 2 .
y 1 = r cos θ, y 2 = r sin θ,
ṙ = αr,
r = r 0 e αt ,
y 1 = r 0 e αt cos(θ 0 − βt),
˙θ = −β.
θ = θ 0 − βt.
y 2 = r 0 e αt sin(θ 0 − βt).
Jeigu α < 0, tai |y 1 (t)| → 0, |y 2 (t)| → 0, kai t → ∞. Jeigu α > 0, tai |y 1 (t)| →
∞, |y 2 (t)| → ∞, kai t → ∞. Jeigu α = 0, tai visos trajektorijos yra 2π/β periodinės
funkcijos.
Tarkime α = 0, t.y. tikrinė reikšmė λ yra grynai menama (tai bus tada ir tik tada,
kai Tr A = 0). Šiuo atveju trajektorijos yra koncentriški apskritimai su centru koordinačiu˛
pradžioje (žr. 2.8 pav.). Pusiausvyros taškas, pavaizduotas 1.8 paveikslėlyje,