algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

1.4. AUTONOMINĖS LYGTYS PLOKŠTUMOJE 21
x 2 . .
x 2
. . . . . .
. .
..
..
. .
.
.
.
.
..
..
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
x 1 x 1
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.
.
.
.
..
. . . . . .
4 P a v y z d y s . Sistema
1.19 pav. 1.20 pav.
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 (1.25)
turi pusiausvyros tašką (0, 0). Apibrėžkime polines koordinates
Naujose koordinatėse gausime sistemą
kurios sprendiniai
x 1 = r cos ϕ, x 2 = r sin ϕ.
ṙ = 0, ˙ϕ = −1,
r = C 1 , ϕ = −t + C 2 .
Grįžę prie senu˛ kintamu˛ju˛ x 1 , x 2 , rasime (1.25) sistemos sprendinius
x 1 (t) = C 1 cos(−t + C 2 ), x 2 (t) = C 1 sin(−t + C 2 ), t ∈ (−∞, ∞).
Iš šiu˛ formuliu˛ eliminavę kintamąjį t, gausime, kad sprendiniai x 1 , x 2 tenkina lygtį
x 2 1 + x 2 2 = C 2 , C = C 1 .
Iš (1.25) lygties išplaukia, kad pusplokštumėje x 2 > 0 sprendinys x 1 didėja, o pusplokštumėje
x 2 < 0 – mažėja. Be to, pusplokštumėje x 1 > 0 sprendinys x 2 mažėja,
o pusplokštumėje x 1 < 0 – didėja. Taigi (1.25) sistemos trajektorijos yra koncentruoti
apskritimai su centru pusiausvyros taške (0, 0) ir apėjimo kryptimi pagal laikrodžio
rodyklę, kai laikas t didėja. Fazinis (1.25) sistemos portretas pavaizduotas 1.20 paveikslėlyje.
5 P a v y z d y s . Sistema
ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = x 1 + x 2 (1.26)