algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

3.1. SPRENDINIŲ GLODUMAS PRADINIŲ SALYGŲ ˛ IR PARAMETRŲ ATŽVILGIU 91
sprendinys, tenkinantis pradines sąlygas
Kai µ = 0, turime Koši uždavinį
y ∣ ∣
t=0
= 0, ẏ ∣ ∣
t=0
= 0.
ẍ + 3x = 2 sin t, x ∣ ∣
t=0
= 0, ẋ ∣ ∣
t=0
= 1.
Jo sprendinys x = sin t. Taigi ieškoma išvestinė yra Koši uždavinio
ÿ + 3y = cos 2 t, y ∣ ∣
t=0
= 0, ẏ ∣ ∣
t=0
= 0
sprendinys. Pastarosios lygties dešinioji pusė
cos 2 t = (1 + cos 2t)/2.
Todėl jos sprendinį galima rasti neapibrėžtiniu˛ koeficientu˛ metodu. Pareikalavę,
kad jis tenkintu˛ pradines sąlygas, gausime
y(t, 0) = 1/6 − 1/2 cos 2t + 1/3 cos √ 3t.
Įrodytą teoremą galima apibendrinti. Tiksliau yra teisinga tokia teorema.
3.3 teorema. Tarkime, funkcija f srityje D µ turi tolydžias išvestines iki k-osios eilės
imtinai pagal x ir µ. Tada (3.2) sistemos sprendinys x = x(t, t 0 , x 0 , µ) turi srityje D µ
tolydžias išvestines iki k-osios eilės imtinai pagal x 0 ir µ.
⊳ Teoremą įrodysime matematinės indukcijos metodu. Kai k = 1, pastarosios teoremos
teiginys išplaukia iš 3.2 teoremos. Tarkime teorema yra teisinga kokiai nors l
reikšmei, l < k. Pagal 3.2 teoremą matricos ∂x/∂x 0 ir ∂x/∂µ yra sudarytos atitinkamai
iš (3.3) ir (3.4) tiesiniu˛ sistemu˛ sprendiniu˛ su fiksuotomis pradinėmis sąlygomis.
Pagal indukcinę prielaidą sprendinys x(t, t 0 , x 0 , µ) ir išvestinės ∂f/∂x ir ∂f/∂µ turi
tolydžias išvestines iki l-osios eilės imtinai pagal x ir µ srityje D µ . Todėl šiu˛ tiesiniu˛
sistemu˛ koeficientai turi l-osios eilės tolydžias išvestines pagal x 0 ir µ srityje D µ .
Kartu galime tvirtinti, kad ju˛ sprendiniai turi l-osios eilės tolydžias dalines išvestines
pagal x 0 ir µ srityje D µ . Tačiau tada (3.2) sistemos sprendiniai turi tolydžias išvestines
iki l + 1 eilės imtinai, ∀l : l < k. Imdami l = k − 1 gausime, kad (3.2) sistemos
sprendiniai turi tolydžias dalines išvestines pagal x 0 ir µ srityje D µ iki k-osios eilės
imtinai. ⊲
I š v a d a . Matrica ∂x/∂x 0 yra (3.3) sitemos fundamentalioji matrica, normuota
taške t = t 0 . Todėl Liuvilio formulę galima perrašyti taip:
{ ∂x
}
det (t, t 0 , x 0 , µ)
∂x 0
⎧
⎨
= exp
⎩
∫ t
t 0
⎫
⎬
Tr f x (s, x(s, t 0 , x 0 , µ), µ) ds
⎭
(3.10)
Tegu x(t, t 0 , x 0 , µ) yra (3.2) sistemos sprendinys fiksuotoms parametru˛ t 0 ir µ reikšmėms.
Tada formulė
ϕ t (x 0 ) = x(t, t 0 , x 0 , µ)