algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

2.6. NEHOMOGENINĖS SISTEMOS PERIODINIAI SPRENDINIAI 73
2.6. NEHOMOGENINĖS SISTEMOS PERIODINIAI
SPRENNIAI
Tegu A ∈ R n,n – pastovioji matrica, q = colon(q 1 , . . . , q n ) – žinoma vektorinė funkcija,
q i – tolydžios ω-periodinės funkcijos, ω > 0. Nagrinėsime tiesinę nehomogeninę
sistemą
ẋ = Ax + q(t). (2.23)
2.13 teorema. Tegu λ 1 , . . . , λ n yra matricos A tikrinės reikšmės ir
λ j ≠ 2πki/ω, ∀j = 1, . . . , n, k ∈ Z.
Tada (2.23) sistema turi vienintelį ω-periodinį sprendinį ir jį galima išreikšti formule
x(t) = (E − e ωA ) −1
∫t
t−ω
e (t−s)A q(s) ds. (2.24)
⊳ Pagal (2.16) formulę bendrasis (2.23) sistemos sprendinys
∫ t
x(t) = e tA C +
0
e (t−s)A q(s) ds;
čia C – pastovus vektorius. Pasinaudoję šia formule ir funkcijos q periodiškumo sąlyga,
gausime
x(t + ω) = e (t+ω)A C +
∫
t+ω
e (t+ω−s)A q(s) ds = e (t+ω)A C + e (t−s)A q(s) ds =
∫ t
0
−ω
∫ t
= e tA e ωA C +
0
e (t−s)A q(s) ds +
∫ 0
−ω
e (t−s)A q(s) ds.
Funkcija x tenkins periodiškumo sąlygą x(t + ω) = x(t), jeigu
e tA e ωA C +
Iš šios lygybės išplaukia, kad
e ωA C +
∫ 0
−ω
∫ 0
−ω
e (t−s)A q(s) ds = e tA C.
e −sA q(s) ds = C.