algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

2.3. EKSPONENTĖ. JOS SAVYBĖS 51
turi skaitinę mažorantę
ir
‖A k (t)‖ ≤ a k , ∀t ∈ 〈a, b〉, k = 1, 2, . . .
∞∑
a k < ∞,
k=1
tai matricu˛ eilutė intervale 〈a, b〉 konverguoja absoliučiai ir tolygiai.
2.3 teorema. (apie eilučiu˛ diferencijavima˛
panariui) Jeigu (2.5) eilutė konverguoja
ir eilutė, sudaryta iš išvestiniu˛
∞∑
A ′ k(t),
k=1
konverguoja tolygiai, tai (2.5) eilutę galima diferencijuoti panariui ir yra teisinga formulė
d
( ∑
∞ ) ∞∑
A k (t) = A ′
dt
k(t).
k=1
P a s t a b a . Pagal apibrėžimą A ′ (t) = {a ′ ij (t)}. Be to, jeigu matricos A, B ∈
R n,n yra diferencijuojamos, tai
k=1
(
AB
) ′
= A ′ B + AB ′ .
Tegu A ∈ R n,n . Tada matricos A k-ąjį laipsnį galima apibrėžti rekurentine formule
A k = A k−1 A, k = 2, 3, . . .
Kartu ∀m = 1, 2, . . . , galime apibrėžti baigtinę sumą
S m (A) =
m∑
k=0
A k
k!
= E + A + A2
2! + · · · + Am
∈ R n,n .
m!
Matricos A eksponente vadinsime eilutę
e A = lim
m→∞ S m(A) = E + A + A2
2! + · · · + Am
m! + · · ·
Parodysime, kad ši eilutė konverguoja.
Tegu ‖A‖ ≤ a. Tada skaitinė eilutė
1 + a + a2
2! + · · · + am
m! + · · ·
konverguoja ir yra mažoranta eilutei e A . Pagal Vejerštraso požymį eilutė e A konverguoja.