algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

2.1. TIESINIŲ SISTEMŲ KANONINIS PAVIDALAS 41
Tegu n = 2. Tada charakteristinę lygtį galima užrašyti taip:
p A (λ) = λ 2 − (Tr A)λ + det A = 0;
∑
čia Tr A = 2 a ii . Jos šaknys
i=1
λ 1,2 = 1 2 (Tr A ± √ D), D = (Tr A) 2 − 4 det A.
Tiesiogiai galima įsitikinti, kad
λ 1 + λ 2 = Tr A, λ 1 · λ 2 = det A.
Dvimačiu atveju Žordano matrica J gali turėti vieną iš keturiu˛ pavidalu˛:
( ) ( ) ( ) (
λ1 0
λ 0
λ 1
α β
J 1 =
, J
0 λ 2 =
, J
2 0 λ 3 =
, J
0 λ 4 =
−β α
)
;
čia λ 1 , λ 2 , λ, α, β – realūs skaičiai.
Išskirsime tris atvejus:
1. Matricos A tikrinės reikšmės yra realios ir skirtingos (tai bus tada ir tik tada,
kai D > 0). Šiuo atveju tikrines reikšmes λ 1 , λ 2 atitinka du tiesiškai nepriklausomi
tikriniai vektoriai x 1 , x 2 . Jie randami iš lygčiu˛
Ax i = λ i x i , i = 1, 2.
Tegu Q yra matrica, sudaryta iš šiu˛ vektoriu˛. Tada
čia
AQ = (Ax 1 , Ax 2 ) = (λ 1 x 1 , λ 2 x 2 ) = QJ 1 ;
J 1 =
( )
λ1 0
.
0 λ 2
Taigi Žordano matrica J = Q −1 AQ = J 1 .
2. Matricos A tikrinės reikšmės yra realios ir sutampa, t.y. λ 1 = λ 2 = λ (tai
bus tada ir tik tada, kai D = 0). Šiuo atveju yra galimos dvi skirtingos situacijos, kai
matrica A yra diagonali ir nediagonali. Tarkime, matrica A yra diagonali. Tada
( ) λ 0
A =
= λE;
0 λ
čia E – tapati matrica. Šiuo atveju bet kokiai neišsigimusiai matricai Q yra teisinga
lygybė
Q −1 AQ = A.
Tai reiškia, kad matricos A ekvivalentiškumo klasėje yra tik viena matrica A ir A = J 2 .
Jeigu matrica A yra nediagonali, tai matricos A − λE rangas lygus vienetui ir
matrica A turi tik vieną tikrinę reikšmę x. Tegu Q yra matrica, sudaryta iš vektoriu˛
x, y. Čia y yra sistemos
Ay = x + λy