algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

40 2. TIESINĖS SISTEMOS
4. Lengvai galima įsitikinti, kad k-os eilės matrica
⎛
⎞
a 1 0 . . . 0 0
0 a 1 . . . 0 0
0 0 a . . . 0 0
J k (a) =
.
⎜ . . . .. . .
⎟
⎝ 0 0 0 . . . a 1 ⎠
0 0 0 . . . 0 a
turi tik vieną elementaru˛ daliklį (λ − a) k . Be to,
⎛
⎞ ⎛
1 0 0 . . . 0 0
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0 ⎟ ⎜
Taigi
J k (a) = a
⎜ .
⎝
. .
. .. . .
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . 0 1
+
⎟ ⎜ .
⎠ ⎝
J k (a) = aE k + T k ;
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
. .
. .. . .
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0 0
⎞
.
⎟
⎠
čia E k – vienetinė matrica, o T k – matrica, kurios pirmoje (ne pagrindinėje)
viršutinėje įstrižainėje vienetukai, o kiti elementai lygūs nuliui.
Tiesinėje algebroje yra įrodoma tokia teorema.
2.1 teorema. (Žordano) Kiekvienai matricai A∈R n,n egzistuoja tokia neišsigimusi
matrica Q, kad
A = QJQ −1 , J = diag{J s1 (λ 1 ), . . . , J sm (λ m )};
čia λ 1 , . . . , λ m – matricos A charakteristinio polinomo šaknys (kai kurios iš ju˛ arba
net visos gali būti vienodos), s 1 + · · · + s m = n, (λ − λ i ) si – elementarūs dalikliai.
Matrica J yra vadinama Žordano matrica, matricos J si (λ i ) – Žordano langeliais.
I š v a d a . Žordano matricos struktūrą nusako ne charakteristinio polinomo šaknys,
o elementarūs dalikliai.
Tegu A∈R n,n – pastovioji matrica. Tada (2.1) sistemą keitiniu
galima suvesti į kanoninį pavidalą
x = Qy, det Q ≠ 0,
ẏ = Jy; (2.2)
čia J = Q −1 AQ – Žordano matrica. Kadangi matricos A ir J yra panašios, tai
Tr A = Tr J ir det A = det J.