algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

3.4. SPRENDINIŲ STABILUMAS PIRMOJO ARTINIO ATŽVILGIU 111
Norma ‖y(t)‖≤ε, ∀t∈[t 0 , t ∗ ]. Todėl segmente [t 0 , t ∗ ] yra teisinga nelygybė
‖y(t)‖≤nK‖y 0 ‖ < ε, ∀t∈[t 0 , t ∗ ].
(žr. (3.32) nelygybės išvedimą). Kartu yra teisinga nelygybė
‖y(t ∗ )‖ < ε.
Gauta prieštara įrodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga ir
‖y(t)‖ < ε, ∀t≥t 0 ,
jeigu tik ‖y 0 ‖ < δ. Taigi (3.30) sistemos trivialusis sprendinys yra stabilus. Be to,
‖y(t)‖≤nKδe −(λ−h)(t−t0) → 0,
kai ‖y 0 ‖ < δ ir t → ∞. Vadinasi, trivialusis sprendinys yra asimptotiškai stabilus. ⊲
3.12 teorema. Tarkime, matricos A tikriniu˛ reikšmiu˛ aibėje yra tikrinės reikšmės su
teigiama realiąja dalimi ir yra patenkinta (3.20) sąlyga. Tada (3.30) sistemos trivialusis
sprendinys yra nestabilus.
Šios teoremos įrodymą galima rasti [6] knygoje.
P a s t a b a . Jeigu matricos A kurios nors tikrinės reikšmės realioji dalis lygi
nuliui, tai (3.30) sistemos trivialiojo sprendinio stabilumo klausimas lieka atviras.