algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

98 3. NETIESINĖS SISTEMOS
3.3. SPRENDINIŲ STABILUMAS PAGAL LIAPUNOVA
˛
Tarkime, (3.11) sistemoje parametras µ yra fiksuotas. Tada ją galima perrašyti taip:
ẋ = f(t, x), (t, x)∈D ⊂ R n+1 . (3.18)
Be to, tegu funkcija f ir jos dalinė išvestinė f x yra tolydžios srityje D. Pagal apibrėžimą
(3.18) sistemos sprendinys bus lokaliai stabilus, jeigu jis bus tolygiai tolydus pradiniu˛
sąlygu˛ atžvilgiu. Šiuo atveju lokalusis stabilumas vadinamas stabilumu pagal Liapunovą..
Tiksliau sakysime, kad (3.18) sistemos sprendinys x = ϕ(t), apibrėžtas intervale
[0, ∞), yra stabilus pagal Liapunovą, jeigu ∀ε > 0 galima nurodyti tokį δ > 0,
kad bet kuris (3.18) sistemos sprendinys x(t, x 0 ), tenkinantis sąlygą
‖x(t 0 , x 0 ) − ϕ(t 0 )‖ < δ,
taip pat yra apibrėžtas intervale [t 0 , ∞) ir yra teisinga nelygybė
‖x(t, x 0 ) − ϕ(t)‖ < ε, ∀t≥t 0 .
Jeigu bent viena iš šiu˛ sąlygu˛ yra nepatenkinta, tai sakysime, kad sprendinys x = ϕ(t)
yra nestabilus pagal Liapunovą.
Kitais žodžiais tariant sprendinys x = ϕ(t) yra stabilus pagal Liapunovą, jeigu bet
kuris kitas sprendinys x(t, x 0 ) pakankamai artimas sprendiniui x = ϕ(t) pradiniu laiko
momentu t 0 , išlieka jam artimas bet kurio laiko momentu t ≥ t 0 (žr. 3.2 paveikslėlį).
Be to, skaičiu˛ δ visada galima imti mažesni už ε.
x .
. .
. x(t, x 0 )
.
ϕ(t)
.......... .
......
..........
.
.......
....... δ......
.
.
ε .
.......
..
t 0
t
3.2 pav.
x
. .
......
ρ......
ε......
.
.
.
.
.
.
t 0
3.3 pav.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x(t, x 0 )
ϕ(t)
. .
t
P a s t a b a . Iš pateikto apibrėžimo išplaukia, kad sprendinys x = ϕ(t) bus
nestabilus pagal Liapunovą, jeigu jo negalima pratęsti į visą intervalą [t 0 , ∞), arba
kiekvienoje taško ϕ(t 0 ) aplinkoje atsiras toks taškas x 0 , kad sprendinio x(t, x 0 ) negalima
pratęsti į visą intervalą [t 0 , ∞).
Atkreipsime dėmesį dar į tai, kad iš sprendinio stabilumo neseka jo aprėžtumas ir
atvirkščiai – iš sprendinio aprėžtumo neseka stabilumas.
P a v y z d ž i a i :
1. Netiesinės lygties
ẋ = sin 2 x