algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

..
..
136 3. NETIESINĖS SISTEMOS
Trajektorijos γ taškuose integralas
∫2π
(
I(γ) = 4(x
2
1 + x 2 2) − 2 ) dt = 4π > 0.
0
Todėl trajektorija γ yra nestabilus ribinis ciklas.
Atkreipsime dėmesį į tai, kad (3.8) skyrelyje šį rezultatą gavome integruodami sistemą.
Įrodytoji teorema leidžia neintegruojant sistemos nustatyti kokia yra jos uždara
trajektorija.
P a s t a b a . Teorema išlieka teisinga ir tuo atveju, jeigu normalę n pakeisime bet
kokiu vienetiniu vektoriumi, kuris nagrinėjamame taške neliečia trajektorijos γ.
Praeitame skyrelyje išskyrėme tris ribiniu˛ ciklu˛ klases: stabilius, nestabilius ir pusiaustabilius
ribinius ciklus. Pasirodo, kad plokštumoje kitokiu˛ ribiniu˛ ciklu˛ nėra.
Tiksliau yra teisinga tokia teorema.
3.25 teorema. Tegu γ yra (3.57) autonominės sistemos ribinis ciklas. Tada visos trajektorijos,
prasidedančios pakankamai arti γ, viniojasi apie γ arba, kai t → +∞, arba,
kai t → −∞.
Šios teoremos įrodymas išplaukia iš 3.24 teoremos įrodymo.
Bendru autonominės sistemos ribiniu˛ ciklu˛ radimo metodu nėra. Suformuluosime
vieną kriteriju˛, leidžianti nustatyti autonominės sistemos ribinio ciklo egzistavimą.
3.26 teorema. Tegu γ : x = ϕ(t), t ≥ t 0 yra teigiamai stabili pagal Lagranžą trajektorija
ir Ω(γ) yra jos ω-ribinė aibė. Be to, tegu aibėje Ω(γ) nėra (3.57) sistemos
pusiausvyros tašku˛. Tada aibė Ω(γ) yra uždara trajektorija ir yra galimi du atvejai:
1. Jeigu trajektorija γ yra uždara, tai γ = Ω(γ).
2. Jeigu γ nėra uždara trajektorija, tai ji vyniojasi apie Ω(γ), kai t → +∞.
⊳ Jeigu trajektorija γ yra uždara, tai jos ω-ribiniu˛ tašku˛ aibė sutampa su γ ir teorema
įrodyta.
Tarkime, trajektorija γ nėra uždara. Tada jos ω-ribiniu˛ tašku˛ aibė Ω(γ) yra netuščia.
Tegu a ∈ Ω(γ). Per tašką a brėžiame kokią nors atkarpą l, kuri yra nelygiagreti
vektoriui f(a) (pagal teoremos sąlygą f(a) ≠ 0). Atkarpą l parinkime tiek mažą, kad
visos trajektorijos, kertančios ją, turėtu˛ tą pačią kryptį kaip ir trajektorija, einanti per
tašką a (žr. 3.9 pav.).
γ
l
.
• a
. ..
..
.
..
.
.
.
.
l
. a1
• .
f(t 2 +e)
f(t 1 −e) • •
• a
a 3 2 • • a
•
b
. .
........
. .
. .
.
.
3.9 pav.
3.10 pav.