algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

112 3. NETIESINĖS SISTEMOS
3.5. PERIODINĖS SISTEMOS SPRENDINIŲ STABILUMAS
PIRMOJO ARTINIO ATŽVILGIU
Tarkime, f yra ω-periodinė funkcija, tenkinanti 3.3 skyrelio sąlygas ir x = ϕ(t) yra
(3.18) sistemos ω-periodinis sprendinys. Be to, tegu y = x − ϕ. Tada (3.18) sistemą
galima perrašyti taip:
ẏ = P (t)y + q(t, y); (3.33)
čia matrica P (t) = f x (t, ϕ(t)), bei funkcija q yra ω-periodinės, t.y.
P (t + ω) = P (t),
q(t + ω, y) = q(t, y).
Be to, funkcija q tenkina (3.20) sąlygą. Įrodysime, kad pastaroji sąlyga yra patenkinta
tolygiai t∈[t 0 , ∞) atžvilgiu. Kadangi funkcija q yra tolydi, tai ∀ε > 0 galima nurodyti
tokį δ > 0, kad pakankamai mažoje taško t aplinkoje
‖q(t, y)‖ < ε‖y‖,
jeigu tik ‖y‖ < δ. Tegu {I k } yra atviru˛ intervalu˛ sistema, dengianti segmentą [t 0 , t 0 +
ω]. Pagal Borelio lemą iš šio denginio galima išrinkti baigtinį denginį I 1 , . . . , I N .
Kiekvieną intervalą I k atitinka savas δ k , t.y. ‖q(t, y)‖ < ε‖y‖, jeigu tik ‖y‖ < δ k ,
t ∈ I k . Tegu δ = min{δ 1 , . . . , δ N }. Tada
‖q(t, y)‖ < ε‖y‖,
∀t∈[t 0 , t 0 + ω],
kai ‖y‖ < δ. Kadangi funkcija q yra ω-periodinė, tai pastaroji nelygybė yra teisinga
∀t∈[t 0 , ∞).
Atmetę (3.33) sistemoje netiesinius narius, gausime pirmąjį šios sistemos artinį
Kadangi matrica P (t) yra ω-periodinė, tai keitiniu
ẏ = P (t)y. (3.34)
y = B(t)v
(3.34) sistemą galima suvesti į tiesinę homogeninę sistemą
˙v = Av, (3.35)
su pastoviąja matrica A. Čia B(t) – neišsigimusi diferencijuojama matrica (ω arba
2ω-periodinė). Tiesiogiai galima įsitikinti, kad (3.33) sistema susiveda į 3.4 skyrelyje
išnagrinėtą sistemą
˙v = Av + g(t, v); (3.36)
čia A = B −1 (t)P (t)B(t) + B −1 (t)Ḃ(t), g(t, v) = B−1 (t)q(t, B(t)v). Akivaizdu,
kad ‖v‖ → 0 tada ir tik tada, kai ‖B(t)v‖ → 0. Todėl
‖g(t, v)‖
‖v‖
≤ n‖B−1 (t)‖ · ‖q(t, B(t)v)‖
‖v‖
≤