algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

1.2. KRYPČIŲ LAUKAS 11
1.2. KRYPČIŲ LAUKAS
Tegu f yra tolydi funkcija, apibrėžta srityje D ⊂ R 2 . Nagrinėsime lygtį
ẋ = f(t, x). (1.13)
Laisvai pasirinktam taškui (t, x) ⊂ D priskirkime tiesę su krypties koeficientu k =
f(t, x), einančią per šį tašką. Tiksliau, per tašką (t, x) brėžiame nedidelę atkarpėlę su
krypties koeficientu k. Visuma tokiu˛ atkarpėliu˛ vadinama krypčiu˛ lauku, atitinkančiu
(1.13) lygtį (žr. 1.1 pav.).
x . .
.
.
•
•
.
•
.
•
.
•
.
. •
• .
.
•
.
•
. •
•
.
. •
.
•
D
1.1 pav.
Pagal apibrėžimą kreivė l ⊂ D yra integralinė tada ir tik tada, kai ji yra glodi ir jos
liestinės krypties koeficientas kiekviename taške (t, x) sutampa su f(t, x). Taigi (1.13)
lygtis apibrėžia sąryšį tarp kiekvieno integralinės kreivės taško ir jos liestinės krypties
koeficiento tame pačiame taške. Šis sąryšis leidžia gauti kokybinį integraliniu˛
kreiviu˛ vaizdą tiesiogiai iš pačios lygties, jos tiksliai nesprendžiant. Norint apytiksliai
nubrėžti inegralines kreives, iš pradžiu˛ tikslinga rasti geometrinę vietą tašku˛, kuriuose
krypčiu˛ laukas yra pastovus. Ši geometrinė vieta tašku˛ vadinama izokline. Izoklinės
yra apibrėžiamos lygtimi f(x, y) = k.
P a v y z d ž i a i :
1. Nagrinėsime lygtį
..
t
ẋ = x/t. (1.14)
Kiekviename taške (t, x) ∈ R 2 , išskyrus koordinačiu˛ pradžios tašką, ieškomos
integralinės kreivės krypties koeficientas k = x/t, t.y. sutampa su tiesės,
einančios per koordinačiu˛ pradžią ir tašką (t, x), krypties koeficientu (žr. 1.2
pav.).
.
.
.
.
.
.
x
. . . . . .
.
.
. . . . . .
.
.
.
. .
.
. . . . . .
. .
.
. .
. .
... .
.
.
. . .
.
..
.
.
.
. . . ... .
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
. . . . .
. .
.
. .
.
.
. . . . . .
.
.
. . . .
..
t
x . .
. . .
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. .
.
. .
.
. . . . . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
. . .
. .
t
1.2 pav.
1.3 pav.