algirdas ambrazeviËcius iËvadas iË kokybin Ëe paprastuËju ...

More documents

Recommendations

Info

44 2. TIESINĖS SISTEMOS 2.2. KANONINIŲ SISTEMŲ PLOKŠTUMOJE FAZINIAI PORTRE- TAI Tegu A yra antros eilės kvadratinė matrica ir J yra ją atitinkanti Žordano matrica. Tada tiesinę sistemą ẋ = Ax, x ∈ R 2 atitinka kanoninė sistema ẏ = Jy, y ∈ R 2 ; (2.3) Ištirsime šios sistemos pusiausvyros tašku˛ charakterį, priklausomai nuo charakteristinio polinomo p A (λ) šaknu˛, t.y. nuo matricos A tikriniu˛ reikšmiu˛ λ 1 , λ 2 . Kadangi panašiu˛ matricu˛ charakteristiniai polinomai sutampa, tai Tr A = Tr J = λ 1 + λ 2 , det A = det J = λ 1 · λ 2 . Tarkime, matricos J tikrinės reikšmės λ 1 , λ 2 yra realios, skirtingos ir nelygios nuliui. Tada (2.3) sistemą galima perrašyti taip: Jos bendrasis sprendinys ẏ 1 = λ 1 y 1 , ẏ 2 = λ 2 y 2 . y 1 (t) = c 1 e λ1t , y 2 (t) = c 2 e λ2t , c 1 , c 2 ∈ R. (2.4) Išskirsime tris atvjus: 1. Tikrinės reikšmės λ 1 , λ 2 yra neigiamos. Tai bus tada ir tik tada, kai det A > 0, D > 0 ir Tr A < 0. Tegu λ 1 < λ 2 < 0. Tada |y 1 (t)| → 0 ir |y 2 (t)| → 0, kai t → ∞. Taigi visos nagrinėjamos sistemos trajektorijos artėja į koordinačiu˛ pradžią. Eliminavę iš (2.4) lygčiu˛ kintamąjį t, gausime lygtį y 1 = c|y 2 | λ1/λ2 , c = c 1 /|c 2 | λ1/λ2 . Iš jos išplaukia, kad (2.3) sistemos trajektorijos yra parabolės 1 . Be to, λ 1 /λ 2 > 1. Todėl visos jos liečia ašį x 2 (žr. 2.1 pav.) 2. Tikrinės reikšmės λ 1 , λ 2 yra priešingu˛ ženklu˛. Tai bus tada ir tik tada, kai det A < 0, D > 0. Tegu λ 1 < λ 2 . Tiksliau tegu λ 1 < 0 < λ 2 . Tada |y 1 (t)| → 0, |y 2 (t)| → ∞, kai t → ∞. Kadangi λ 1 /λ 2 < 0, tai trajektorijos yra hiperbolės 2 (žr. 2.2 pav.). 3. Tikrinės reikšmės λ 1 , λ 2 yra teigiamos. Tai bus tada ir tik tada, kai det A > 0, D > 0 ir Tr A > 0. Tegu 0 < λ 1 < λ 2 . Tada |y 1 (t)| → ∞, |y 2 (t)| → ∞, kai t → ∞. Kadangi λ 1 /λ 2 > 0, tai trajektorijos yra parabolės 3 . Be to, λ 1 /λ 2 < 1. Todėl jos visos liečia ašį x 1 (žr. 2.3 pav). 1 Iš tikru˛ju˛ tikrosios parabolės yra gaunamos tik tuo atveju, kai λ 1 /λ 2 = 2. 2 Iš tikru˛ju˛ tikrosios hiperbolės gaunamos tik tuo atveju, kai λ 1 /λ 2 = −1. 3 Iš tikru˛ju˛ tikrosios parabolės gaunamos tik tuo atveju, kai λ 1 /λ 2 = 1/2.
2.2. KANONINIŲ SISTEMŲ PLOKŠTUMOJE FAZINIAI PORTRETAI 45 . y 2 . . . y 2 . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . .. . . . y 2 y 1 .. ..................................................................... ..................................................................... . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . y 1 ..................................................................... ..................................................................... .. . . . . . . .. . . . .. .. y 1 . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . ... .. . ... . . . . .. . . . . . . . 2.1 pav. 2.2 pav. 2.3 pav. Pusiausvyros taškas, pavaizduotas 2.1 ir 2.3 paveikslėliuose, vadinamas mazgo tašku, o pusiausvyros taškas, pavaizduotas 2.2 paveikslėlyje – balno tašku. Tarkime dabar, kad tikrinės reikšmės λ 1 , λ 2 sutampa ir nelygios nuliui. Tai bus tada ir tik tada, kai det A > 0 ir D = 0. Tegu λ 1 = λ 2 = λ ≠ 0. Išskirsime du atvejus: 1. Tarkime, matrica J yra diagonali. Tada (2.3) sistemą galima perrašyti taip: Jos bendrasis sprendinys ẏ 1 = λy 1 , ẏ 2 = λy 2 . y 1 (t) = c 1 e λt , y 2 (t) = c 2 e λt . Tegu λ > 0. Tada |y 1 (t)| → ∞, |y 2 (t)| → ∞, kai t → ∞. Jeigu λ < 0, tai |y 1 (t)| → 0, |y 2 (t)| → 0, kai t → ∞. Eliminavę iš pastaru˛ju˛ lygčiu˛ kintamąjį t, gausime lygtį y 1 = ky 2 , k = c 1 /c 2 . Taigi sistemos trajektorijos yra spinduliai, išeinantys iš koordinačiu˛ pradžios, kai λ > 0, ir įeinantys į koordinačiu˛ pradžią, kai λ < 0 (žr. 2.4 ir 2.5 pav.). Pusiausvyros taškai, pavaizduoti 2.4 ir 2.5 paveikslėliuose, vadinami dikritiniais mazgais. y 2 y 1 y 2 y 1 . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2.4 pav. 2. Matrica J nėra diagonali. Tada turime sistemą 2.5 pav. ẏ 1 = λy 1 + y 2 , ẏ 2 = λy 2 . Jos bendrasis sprendinys y 1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λt , y 2 (t) = c 2 e λt .
Page 1 and 2: ALGIRDAS AMBRAZEVIČIUS ĮVADAS Į
Page 3 and 4: MATEMATINIAI MODELIAI 141 4.1 Hamil
Page 5 and 6: 1.1. SPRENDINIŲ EGZISTAVIMAS, VIEN
Page 11 and 12: 1.2. KRYPČIŲ LAUKAS 11 1.2. KRYP
Page 13 and 14: 1.2. KRYPČIŲ LAUKAS 13 Šiuo atve
Page 15 and 16: 1.2. KRYPČIŲ LAUKAS 15 Atskyrę (
Page 17 and 18: 1.3. AUTONOMINĖS LYGTYS TIESĖJE 1
Page 19 and 20: 1.4. AUTONOMINĖS LYGTYS PLOKŠTUMO
Page 29 and 30: 1.5. FAZINIS SRAUTAS 29 Fiksuotam
Page 31 and 32: 1.6. AUTONOMINIŲ SISTEMŲ TRAJEKTO
Page 37 and 38: 2 S K Y R I U S Tiesinės sistemos
Page 39 and 40: 2.1. TIESINIŲ SISTEMŲ KANONINIS P
Page 41 and 42: 2.1. TIESINIŲ SISTEMŲ KANONINIS P
Page 43: 2.1. TIESINIŲ SISTEMŲ KANONINIS P
Page 47 and 48: .. .. 2.2. KANONINIŲ SISTEMŲ PLOK
Page 49 and 50: .. 2.2. KANONINIŲ SISTEMŲ PLOKŠT
Page 51 and 52: 2.3. EKSPONENTĖ. JOS SAVYBĖS 51 t
Page 53 and 54: 2.3. EKSPONENTĖ. JOS SAVYBĖS 53 K
Page 55 and 56: 2.3. EKSPONENTĖ. JOS SAVYBĖS 55 B
Page 57 and 58: 2.3. EKSPONENTĖ. JOS SAVYBĖS 57 P
Page 59 and 60: 2.4. TIESINĖS SISTEMOS SU PASTOVIA
Page 61 and 62: 2.4. TIESINĖS SISTEMOS SU PASTOVIA
Page 63 and 64: .. 2.5. TIESINIŲ SISTEMŲ FAZINIŲ
Page 65 and 66: 2.5. TIESINIŲ SISTEMŲ FAZINIŲ SR
Page 73 and 74: 2.6. NEHOMOGENINĖS SISTEMOS PERIOD
Page 75 and 76: 2.6. NEHOMOGENINĖS SISTEMOS PERIOD
Page 77 and 78: 2.7. TIESINĖS HOMOGENINĖ SISTEMOS
Page 83 and 84: 2.8. TIESINĖS NEHOMOGENINĖ SISTEM
Page 85 and 86: 2.9. UŽDAVINIAI 85 yra tolygiai 8
Page 87 and 88: 3.1. SPRENDINIŲ GLODUMAS PRADINIŲ
Page 93 and 94: 3.2. SPRENDINIŲ LOKALUSIS STABILUM
Page 95 and 96:
3.2. SPRENDINIŲ LOKALUSIS STABILUM
Page 97 and 98:
3.2. SPRENDINIŲ LOKALUSIS STABILUM
Page 99 and 100:
3.3. SPRENDINIŲ STABILUMAS PAGAL L
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
3.4. SPRENDINIŲ STABILUMAS PIRMOJO
Page 111 and 112:
3.4. SPRENDINIŲ STABILUMAS PIRMOJO
Page 113 and 114:
3.5. PERIODINĖS SIST. SPR. STAB. P
Page 115 and 116:
3.6. AUTONOMINĖS SIST. SPR. STAB.
Page 117 and 118:
3.7. AUTONOMINĖS SISTEMOS PLOKŠTU
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
3.8. AUTONOMINIŲ SISTEMŲ RIBINIAI
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
3.9. RIBINIAI CIKLAI PLOKŠTUMOJE 1
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
3.10. UŽDAVINIAI 139 3.10. UŽDAVI
Page 141 and 142:
4 S K Y R I U S Matematiniai modeli
Page 143 and 144:
4.1. HAMILTONO PRINCIPAS. PAVYZDŽI
Page 145 and 146:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 145 4.2.
Page 147 and 148:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 147 P a s
Page 149 and 150:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 149 Kai t
Page 151 and 152:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 151 Supra
Page 153 and 154:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 153 ir (0
Page 155 and 156:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 155 grobu
Page 157 and 158:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 157 pusia
Page 159 and 160:
4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 159 spren
Page 161 and 162:
161 L I T E R A T Ū R A [1] H. Ama
show all

algirdas ambrazeviËcius iËvadas iË kokybin Ëe paprastuËju ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

algirdas ambrazeviËcius iËvadas iË kokybin Ëe paprastuËju ...