algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

76 2. TIESINĖS SISTEMOS
2.7. TIESINĖS HOMOGENINĖS SISTEMOS
SU PERIODINIAIS KOEFICIENTAIS
Tarkime, matricos P (t) = {p ij (t)}∈R n,n elementai p ij yra tolydžios ω-periodinės
funkcijos, ω > 0. Tokias matricas vadinsime ω-periodinėmis. Nagrinėsime tiesinę
homogeninę sistemą
ẋ = P (t)x. (2.26)
2.14 teorema. Tegu P yra ω-periodinė matrica. Tada kiekvieną (2.26) sistemos fundamentaliąją
matricą Φ galima išreikšti sandauga
Φ(t) = B(t)e tA ; (2.27)
čia B – neišsigimusi ω periodinė matrica, o A – matrica su pastoviais koeficientais.
⊳ Laisvai pasirenkame kokią nors (2.26) sistemos fundamentaliąją matricą Φ. Tada
˙Φ(t + ω) = P (t + ω)Φ(t + ω).
Pagal teoremos sąlygą P (t + ω) = P (t). Todėl
˙Φ(t + ω) = P (t)Φ(t + ω).
Iš čia išplaukia, kad matrica Ψ(t) = Φ(t + ω) taip pat yra fundamentalioji. Remiantis
bendrąja diferencialiniu˛ lygčiu˛ teorija, galime tvirtinti, kad egzistuoja tokia neišsigimusi
pastovioji matrica C, kad
Ψ(t) = Φ(t)C. (2.28)
Matrica C vadinama monodromijos matrica. Tegu A ∈ R n,n yra tokia matrica, kad
e ωA = C.
Pagal 2.6 teoremą tokia matrica egzistuoja. Apibrėžkime matricą B taip:
Tada
ir
B(t) = Φ(t)e −tA .
Φ(t) = B(t)e tA
B(t + ω) = Φ(t + ω)e −(t+ω)A = Φ(t)Ce −(t+ω)A =
= Φ(t)e ωA e −ωA e −tA = Φ(t)e −tA = B(t).
Taigi matrica B yra ω-periodinė. ⊲
Tegu ˜Φ yra kita (2.26) sistemos fundamentalioji matrica ir ˜C yra ją atitinkanti monodromijos
matrica, t.y.
˜Φ(t + ω) = ˜Φ(t) ˜C.