algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

3.7. AUTONOMINĖS SISTEMOS PLOKŠTUMOJE PUSIAUSVYROS TAŠKAI 117
jeigu kiekvienai trajektorijai, artėjančiai prie koordinačiu˛ pradžios, kai t → +∞ (arba
t → −∞), reiškinys t −1 ln |x(t)| artėja prie tam tikros konstantos c ir atvirkščiai,
bet kuriai konstantai c egzistuoja toks netiesinės sistemos sprendinys x = x(t), kad
t −1 ln |x(t)| → c, kai t → +∞ (arba t → −∞). Traukos tašką vadinsime mazgo
tašku, jeigu visos trajektorijos x = ϕ(t) ≢ 0 turi liestinę taške x = 0, t.y. egzistuoja
riba
lim arctg ϕ 2(t)
t→∞ ϕ 1 (t) = θ 0; (arba t → −∞)
čia θ 0 ∈ (−∞, ∞). Mazgo tašką vadinsime taisyklingu mazgu, jeigu kiekvienam
θ 0 (mod 2π) egzistuoja toks vienintelis sprendinys x = ϕ(t), kad
lim arctg ϕ 2(t)
t→∞ ϕ 1 (t) = θ 0.
(arba t → −∞)
Priešingu atveju mazgo tašką vadinsime netaisyklingu mazgu.
A p i b r ė ž i m a s . Pusiausvyros tašką x = 0 vadinsime (3.42) sistemos sukimosi
tašku, jeigu kiekvienoje jo aplinkoje yra uždara trajektorija, supanti šį tašką.
Sukimosi tašką vadinsime centro tašku, jeigu kiekviena tokia trajektorija, išskyrus
x = 0, yra uždara.
Egzistuoja pusiausvyros taškai, kurie nėra nei traukos taškai, nei sukimosi taškai ir
traukos taškai, kurie nėra nei židiniai, nei mazgai. Pavyzdžiui, balno taškas nėra nei
traukos taškas, nei sukimosi taškas. Jį galima apibrėžti kaip pusiausvyros tašką į kurį
artėja tik baigtinis skaičius trajektoriju˛, kai t → ∞ arba t → −∞.
Tiesinei sistemai ẋ = Ax, det A ≠ 0, pusiausvyros taškas x = 0 yra traukos taškas
tada ir tik tada, kai matricos A tikriniu˛ reikšmiu˛ realiosios dalys yra abi teigiamos arba
abi neigiamos. Pusiausvyros taškas x = 0 yra sukimosi taškas (centras) tada ir tik
tada, kai matricos A tikriniu˛ reikšmiu˛ realiosios dalys lygios nuliui. Iš 3.11 teoremos
išplaukia toks teiginys.
3.16 teorema. Jeigu koordinačiu˛ pradžios taškas x = 0 yra (3.44) tiesinės sistemos
traukos taškas, tai jis ir (3.42) netiesinės sistemos traukos taškas.
Pasirodo, kad analogiškas teiginys yra teisingas ir tuo atveju, kai traukos taškas yra
židinys. Tiksliau yra teisinga tokia teorema.
3.17 teorema. Jeigu koordinačiu˛ pradžios taškas x = 0 yra (3.44) tiesinės sistemos
židinio taškas, tai jis ir (3.42) netiesinės sistemos židinio taškas.
⊳ Taškas x = 0 yra (3.44) tiesinės sistemos židinio taškas, kai matricos A tikrinės
reikšmės λ 1,2 = α ± iβ yra kompleksinės ir α ≠ 0. Tarkime, matrica A turi kanoninį
pavidalą, t.y.
( ) α β
A =
−β α
ją gausime, r(t) = c 1 e αt , ϕ(t) = −βt + c 2 . Jeigu α < 0 ir β < 0, tai r(t) → 0, ϕ(t) → +∞, kai
β
t → +∞. Be to, ln r(t) + ϕ(t) = c, su tam tikra konstanta c. Ir atvirkščiai, bet kokiai konstantai c
α
egzistuoja toks nagrinėjamos tiesinės sistemos sprendinys, kad β ln r(t) + ϕ(t) = c.
α