algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

3.7. AUTONOMINĖS SISTEMOS PLOKŠTUMOJE PUSIAUSVYROS TAŠKAI 119
koordinačiu˛ pradžios taškas yra taisyklingas mazgo taškas.
Tiesinės sistemos židinio taškas (kartu jis yra ir taisyklingas židinio taškas) nebūtinai
yra netiesinės sistemos taisyklingas židinio taškas. Pavyzdžiui, netiesinė sistema
ẋ 1 = −x 1 + x 2 + x 1
ln |x| , ẋ 2 = −x 1 − x 2 − x 2
ln |x|
tenkina skyrelio pradžioje suformuluotas sąlygas. Polinėse koordinatėse x 1 = r cos ϕ,
x 2 = r sin ϕ ją galima užrašyti taip:
Išsprendę pirmąją lygtį, gausime
ṙ = −r +
r , ˙ϕ = −1.
ln r
r(t)(1 − ln r(t)) = ce −t .
Kadangi r(t) → 0, kai t → +∞, tai r(t)e t → 0, kai t → +∞ ir nagrinėjamos
netiesinės sistemos pusiausvyros taškas yra netaisyklingas židinio taškas.
Iš pateiktu˛ pavyzdžiu˛ matome, kad nurodytu˛ skyrelio pradžioje glodumo sąlygu˛
funkcijai q nepakanka, kad tiesinės sistemos taisyklingas židinio (mazgo) taškas būtu˛
ją atitinkančios netiesinės sistemos taisyklingu židinio (mazgo) tašku. Tarkime, ψ yra
tolydi funkcija intervale [0, a], tenkinanti sąlygas:
∫ a
|q(x)| ≤ ψ(|x|); ψ(r) = o(r), kai r → 0;
Tada yra teisinga tokia teorema.
0
ψ(r)
r 2 dr < ∞. (3.46)
3.18 teorema. Jeigu funkcija q tenkina (3.46) sąlygas ir koordinačiu˛ pradžios taškas
yra (3.44) tiesinės sistemos židinio taškas (taisyklingas mazgo taškas), tai jis yra ir
netiesinės sistemos taisyklingas židinio taškas (taisyklingas mazgo taškas).
P a s t a b a . Jeigu funkcija q tenkina sąlygą
q(x) = O(|x| 1+ε ),
kai |x| → 0, tai ji tenkina ir (3.46) sąlygas. Kartu tokiai funkcijai yra teisinga pastaroji
teorema.
Tarkime toliau, kad koordinačiu˛ pradžios taškas yra (3.42) tiesinės sistemos centro
taškas. Iš pradžiu˛ išnagrinėsime kelis pavyzdžius.
1. Netiesinė sistema
ẋ 1 = −x 2 − x 1 |x|,
ẋ 2 = x 1 − x 2 |x|
tenkina skyrelio pradžioje suformuluotas sąlygas. Polinėse koordinatėse x 1 = r cos ϕ,
x 2 = r sin ϕ ją galima užrašyti taip:
ṙ = −r 2 , ˙ϕ = 1.