algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

4.2. EKOLOGINIAI MODELIAI 149
Kai t = t 0 , populiacija p(t 0 ) = p 0 . Tarkime, p 0 ≠ 0 ir p 0 ≠ p ∗ . Tada
ir pastarąją formulę galima perrašyti taip
p
∣
0 ∣∣
1/p ∗ k
∣
= Ce
t 0
p 0 − p ∗
∣ p(t)
p 0
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣ p(t) − p ∗
p 0 − p ∗ ∣ ∣∣e (t−t 0)kp ∗ .
Iš (4.10) formulės išplaukia, kad p(t) ≠ 0 ir p(t) ≠ p ∗ , ∀t ≥ t 0 . Todėl reiškiniai
p(t)/p 0 ir (p(t) − p ∗ )/(p 0 − p ∗ ) yra teigiami ir modulio ženklu˛ galime nerašyti
p(t)
p 0
Išsprendę šią lygtį p atžvilgiu, gausime
p(t) =
=
p(t) − p∗
p 0 − p ∗ e(t−t0)kp∗ .
p ∗ p 0
, ∀t ∈ R, (4.11)
p 0 + (p ∗ − p 0 )e −kp∗ (t−t 0)
Taigi, jeigu p 0 ≠ 0 ir p 0 ≠ p ∗ , tai funkcija p, apibrėžta (4.11) formule, yra vienintelis
Koši uždavinio
ṗ = kp(p ∗ − p), p(t 0 ) = p 0
sprendinys. Kai p 0 ∈ (0, p ∗ ), taip apibrėžta funkcija p yra didėjanti, o kai p 0 > p ∗ –
mažėjanti. Be to, kai t → ∞, p(t) → p ∗ . Funkcijos p antroji išvestinė
Iš čia gauname, kad
ir
¨p(t) = d dt(
kp(p ∗ − p) ) = kṗ(p ∗ − 2p) = k 2 p(p ∗ − p)(p ∗ − 2p).
¨p > 0, kai p ∈ (0, p ∗ /2) ∪ (p ∗ , +∞)
¨p < 0, kai p ∈ (p ∗ /2, p ∗ ).
Aprėžto augimo lygties integraliniu˛ kreiviu˛ kokybinis vaizdas, priklausomai nuo pradinės
reikšmės p 0 , ir fazinis portretas pavaizduoti 4.16, 4.17 paveikslėliuose.
p
p ∗
p ∗ /2
. .
.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - -
t 0
.
.
.
..
• •
t 0 p ∗
. . .
4.16 pav. 4.17 pav.
2. Analogiškai nagrinėjamas sudėtingesnis dvieju˛ populiaciju˛ sąveikos modelis.
Tegu p 1 (t) yra kokios nors rūšies auku˛, o p 2 (t) – grobuoniu˛ populiacijos (pvz. kiškiai