algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

1.4. AUTONOMINĖS LYGTYS PLOKŠTUMOJE 23
kintamu˛ju˛ x 1 , x 2 atžvilgiu. Šios lygties sprendiniai yra hiperbolės
x 2 2 − x 2 1 = C.
Ju˛ asimptotės yra tiesės x 1 +x 2 = 0 ir x 1 −x 2 = 0. Hiperboliu˛ apėjimo kryptį galima
nustatyti iš (1.27) lygčiu˛. Pavyzdžiui, ẋ 2 > 0, kai x 1 > 0, ẋ 1 > 0, kai x 2 > 0, t.y.
pusplokštumėje x 1 > 0 sprendinys x 2 auga, o pusplokštumėje x 2 > 0 auga sprendinys
x 1 . Fazinis (1.27) sistemos portretas pavaizduotas 1.22 paveikslėlyje.
Norint nubrėžti (1.21) sistemos trajektoriju˛ kokybinį vaizdą, nevisada būtina žinoti
jos sprendinius apibrėžiančias formules. Tai galima padaryti nesprendžiant pačios sistemos.
Šiuo atveju reikia pasinaudoti izokliniu˛ metodu.
Tarkime, funkcija f yra apibrėžta srityje Ω ⊂ R 2 . Kiekviename taške x ∈ Ω yra
apibrėžtas vektorius ẋ. Šiu˛ vektoriu˛ visuma sudaro krypčiu˛ lauką. Priminsime, kad
izoklinė yra geometrinė vieta tašku˛, kuriuose krypčiu˛ laukas yra pastovus, t.y.
dx 2
dx 1
= k = const.
Ypatingai įdomūs tie izokliniu˛ taškai, kuriuose dx 2 /dx 1 lygus nuliui arba begalybei,
t.y. izoklinės, kuriose ẋ 2 = 0 arba ẋ 1 = 0.
7 P a v y z d y s . Sistemos
ẋ 1 = x 2 2, ẋ 2 = x 1 (1.28)
vienintelis pusiausvyros taškas yra koordinačiu˛ pradžioje. Izoklinės yra apibrėžiamos
lygtimi
x 1 /x 2 2 = k.
Kai x 2 = 0, turime k = ∞. Kai x 1 = 0, turime k = 0. Kitoms k reikšmėms izoklinės
yra parabolės x 1 = kx 2 2. Pavyzdžiui,
k = 1/2, parabolėje x 1 = x 2 2/2,
k = 1, parabolėje x 1 = x 2 2,
k = 2, parabolėje x 1 = 2x 2 2,
k = −1/2, parabolėje x 1 = −x 2 2/2,
k = −1, parabolėje x 1 = −x 2 2,
k = −2, parabolėje x 1 = −2x 2 2.
Trajektoriju˛ apėjimo kryptį nusako sistemos lygčiu˛ dešiniosios pusės. Iš pirmosios
lygties išplaukia, kad x 1 didėja, kai t kinta nuo −∞ iki ∞. Iš antrosios lygties gauname,
kad x 2 didėja, kai x 1 > 0 ir mažėja, kai x 1 < 0.
Padalinę antrąją šios sitemos lygtį iš pirmosios, gausime paprastąją diferencialinę
lygtį
dx 2
= x 1
, x 2 ≠ 0
dx 1
kintamu˛ju˛ x 1 , x 2 atžvilgiu. Šios lygties sprendiniai yra apibrėžiami formule
x 2 2
x 3 2 − 3x 2 1 = C.