algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

2.5. TIESINIŲ SISTEMŲ FAZINIŲ SRAUTŲ KLASIFIKACIJA 67
Šiuose pavyzdžiuose pavaizduotu˛ tiesiniu˛ sistemu˛ faziniai portretai atitinka 1) −
5) numeriais pažymėtus atvejus, pavaizduotus 2.19 paveikslėlyje. Atvejai, pažymėti
numeriais 6) − 10), gaunami iš atveju˛, pažymėtu˛ numeriais 1) − 5), pakeitus t ašies
kryptį į priešingą. Todėl juos atitinkantys faziniai portretai gaunami iš 2.21 - 2.25
paveikslėliuose pavaizduotu˛ faziniu˛ portretu˛, pakeitus rodikliu˛ kryptis į priešingas.
U ž d a v i n y s . Nubrėžkite tiesinės sitemos ẋ = Ax fazinį portretą nurodytais
2.20 paveikslėlyje atvejais.
2.8 teorema. Tarkime, matricu˛ A, B ∈ R n,n tikriniu˛ reikšmiu˛ aibėje nėra kartotiniu˛
tikriniu˛ reikšmiu˛. Tada (2.18) sistemos yra tiesiškai ekvivalenčios tada ir tik tada, kai
matricu˛ A ir B tikrinės reikšmės sutampa.
⊳ Tarkime, (2.18) sistemos yra tiesiškai ekvivalenčios. Pagal apibrėžimą egzistuoja
tokia neišsigimusi matrica Q, kad
Remiantis eksponentės apibrėžimu
Qe tA = e tB Q, ∀t ∈ R.
Qe tA = Q
(E + tA + (tA)2 + . . . + (tA)n
2!
n!
)
+ · · · ,
)
e tB Q =
(E + tB + (tB)2 + . . . + (tB)n + · · · Q.
2!
n!
Sulyginę šiuos reiškinius gausime, kad matricos A ir B yra panašios, t.y.
QA = BQ.
Tačiau panašiu˛ matricu˛ charakteristiniai polinomai sutampa
p A (λ) = det(A − λE) = det(B − λE) = p B (λ).
Todėl sutampa ir ju˛ tikrinės reikšmės 6 .
Tarkime, matricu˛ A ir B tikrinės reikšmės sutampa. Kadangi jos nėra kartotinės,
tai matricas A ir B atitinka ta pati Žordano matrica. Vadinasi, jos yra panašios, t.y.
egzistuoja tokia neišsigimusi matrica Q ∈ R n,n , kad
Remiantis eksponentės apibrėžimu
QA = BQ.
Qe tA = Q
(E + tA + (tA)2 + . . . + (tA)n
2!
n!
)
=
(E + tB + (tB)2 + . . . + (tB)n + · · ·
2!
n!
)
+ · · · =
Q = e tB Q.
Sulyginę kairę ir dešinę šiu˛ lygybiu˛ puses gausime, kad (2.18) sistemu˛ faziniai srautai
yra panašūs. Taigi (2.18) sistemos yra tiesiškai ekvivalenčios. ⊲
6 Įrodant pirmąjį teoremos teiginį, nesinaudojome tikriniu˛ reikšmiu˛ paprastumu.