algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

88 3. NETIESINĖS SISTEMOS
Fiksuokime tašką (t 0 , x 0 , µ 0 ). Tarkime, sprendinys x = x(t, t 0 , x 0 , µ 0 ) yra apibrėžtas
intervale [τ, T ]. Tada kiekvienam h : |h| < ε, ε – pakankamai mažas teigiamas
skaičius, sprendinys x = x(t, t 0 , x 0 + he i , µ 0 ), i = 1, 2, . . . , n taip pat yra apibrėžtas
intervale [τ, T ]. Be to, kai h → 0,
x(t, t 0 , x 0 + he i , µ 0 ) → x(t, t 0 , x 0 , µ 0 )
tolygiai t ∈ [τ, T ] atžvilgiu.
Fiksuokime kokią nors indekso i reikšmę ir pažymėkime
∆x(t, h) = x(t, h) − x(t, 0), y(t, h) =
čia x(t, h) = x(t, t 0 , x 0 + he i , µ 0 ). Tada
∆x(t, h)
, h ≠ 0;
h
d
dt ∆x(t, h) = f(t, x(t, h), µ 0) − f(t, x(t, 0), µ 0 ) =
=
∫ 1
0
f x (t, x(t, 0) + s∆x(t, h), µ 0 ) ds · ∆x(t, h).
Padalinę kairę ir dešinę šiu˛ lygybiu˛ puses iš h, gausime, kad funkcija y(t, h) yra
tiesinės sistemos
ẏ = A(t, h)y (3.6)
sprendinys. Čia
Be to,
A(t, h) =
∫ 1
y(t 0 , h) = x(t 0, h) − x(t 0 , 0)
h
0
f x (t, x(t, 0) + s∆x(t, h), µ 0 ) ds.
= x(t 0, t 0 , x 0 + he i , µ 0 ) − x(t 0 , t 0 , x 0 , µ 0 )
h
=
= x 0 + he i − x 0
h
Kadangi funkcija f x yra tolydi, tai
= e i .
A(t, h) → A(t, 0) = f x (t, x(t, t 0 , x 0 , µ 0 ), µ 0 ), (3.7)
kai h → 0.
Funkcija A(t, h) yra tolydi, kai t ∈ [τ, T ] ir |h| < ε. Pagal 3.1 teoremos išvadą
(3.6) sistemos sprendinys ỹ(t, h), tenkinantis pradinę sąlygą
ỹ(t, h) ∣ ∣
t=t0
= e i , (3.8)
yra tolydus tuose plokštumos t, h taškuose kaip ir funkcija A(t, h). Todėl egzistuoja
riba
lim ỹ(t, h) = ỹ(t, 0). (3.9)
h→0