format .pdf, 1.8 MB

More documents

Recommendations

Info

p un asemenea divizor. Rezultă că p ∈ {p 1 ,p 2 ,...,p n }, deci p | 4p 1 p 2 ...p n şi cum p | N rezultă p =1. Contradicţie! Presupunerea că existăunnumăr finit de numere primedeformap =4k − 1 nu poate fi adevărată. Teorema 2 se generalizează după cum urmează: Teorema 3. Pentru orice număr natural n, n 6= 0,există o infinitate de numere prime p de forma p = nk − 1, k ∈ N. Demonstraţie. Pentru n =1, {nk − 1 | k ∈ N} = N ∪ {−1} şi afirmaţia teoremei este adevărată (teorema lui Euclid). Pentru n = 2, {nk − 1 | k ∈ N} = = {−1, 1, 3, 5, 7,...} şi afirmaţia teoremei este adevărată (existăoinfinitate de numere prime impare). Pentru demonstraţia teoremei în cazul n>2 vom folosi lema următoare: Lemă. Pentru orice număr Ynatural n, n>1, avem: 1≤r2 şi r fixat, 1 ≤ r1 deoarece chiar în cazul s =0, N = na − 1 >n− 1 ≥ 1. Există p prim, p | N; p este de forma p = nau + r, (r, Na) =1. Din p = Nau + r ≡ nu + r (mod n) rezultă că p şi nu + r dau acelaşi rest la împărţirea cu n. Rezultă că r
Demonstraţie. Pentru n>1, numărul (n!) 2 +1 este impar, mai mare ca 1. Există p | (n!) 2 +1, p 6= 2.Decip este de forma p =4k +1sau p =4k +3.Dacă p este de forma p =4k+3, dinp | (n!) 2 +1 rezultă p | (n!) 2(2k+1) +1, adică p | (n!) p−1 +1 şi apoi p | (n!) p + n!. Conformcumica teoremă aluiFermatp | (n!) p − n!. Rezultă p | 2n!, deci p ≤ n, p | n! ceea ce implică p | 1, contradicţie! Teorema 4. Există o infinitate de numere prime p de forma p =4k +1, k ∈ N. Demonstraţie. Folosim din nou metoda lui Euclid. Presupunem că existăun număr finit de numere prime de forma 4k +1: p 1 =5
Page 1 and 2: Recreaţii ştiinţifice - „cea
Page 3 and 4: destul de ingenioase". Nu ne propun
Page 5 and 6: Foşti rezolvitori ai "Recreaţiilo
Page 7 and 8: Câteva curbe celebre şi important
Page 9 and 10: Ecvaţia (3) fiind rezolvită înpr
Page 12 and 13: ...;totuşi, numerele exprimând mi
Page 14 and 15: Finsler speciale” se referă la c
Page 18 and 19: Pentru x = ky, y ∈ Z vom avea: F
Page 20 and 21: Patrulater inscriptibil: 19 5 , 4 5
Page 22 and 23: Pentagon: 3, 1 2 , 2√ 5, 1 2 ,
Page 24 and 25: particulare: trapeze ş. a.) 2) În
Page 26 and 27: Demonstraţie. Vom demonstra afirma
Page 28 and 29: Asupra unei probleme de construcţi
Page 30 and 31: Câteva aplicaţii ale teoremei lui
Page 32 and 33: Extinderi de inele şi corpuri - o
Page 34 and 35: ³ √d´ 4) Din puncte de vedere g
Page 36 and 37: " # ce conduce la y ∈ −2 − 2
Page 38 and 39: Comentarii asupra unui exerciţiu D
Page 40 and 41: Demonstraţie. Din xy = p (x + y +
Page 42 and 43: Conform inegalităţii C-B, avem: (
Page 44 and 45: ) Să searatecădacă toate rădăc
Page 46 and 47: Fac. de Electronică şi Telecomuni
Page 48 and 49: a) (x, y) ∈ {(−2, 3) , (−3, 2
Page 50 and 51: BC = 4 cm şi AD = 3 cm. Măsura un
Page 52 and 53: Soluţiile problemelor propuse în
Page 54 and 55: cifrele a,b,c,...,g sunt distincte,
Page 56 and 57: Soluţie. Plecând de la identitate
Page 58 and 59: AM · BN ≤ 4 9 . Emil Vasile, Plo
Page 60 and 61: {x} ≥ 0. Atuncix = n + a n , n
Page 62 and 63: Deoarece funcţia f (t) = t (2 t
Page 64 and 65: XI.29. Să searatecă lim n→∞ n
Page 66 and 67:
XII.29. Fie f : R → R ofuncţie c
Page 68 and 69:
permise, aşezând în mod repetat
Page 70 and 71:
G17. Fie ABCD un patrulater convex
Page 72 and 73:
Soluţie. Din relaţia dată înipo
Page 74 and 75:
L11. Să se rezolve în N ∗ ecua
Page 76 and 77:
Partea a doua a afirmaţiei b) rezu
Page 78 and 79:
L20. Fie a ∈ R, a>1. Se consider
Page 80 and 81:
utilizând două greutăţi, una de
Page 82 and 83:
IX.38. Să searatecă xn+1 y n + yn
Page 84 and 85:
Probleme pentru pregătirea concurs
Page 86 and 87:
Pagina rezolvitorilor BOTOŞANI Şc
Page 88:
IMPORTANT • În scopul unei legă
show all

format .pdf, 1.8 MB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?