format .pdf, 1.8 MB

numărul N =4x 4 1 +8x 8 2 +12x 12
3 + ···+ 2000x 2000
500 este divizibil cu 5.
Tamara Culac, Iaşi
Soluţia I (a autorului). Numărul x i ,i = 1, 500, estedeunadinformele:
M 5 +1, M 5 +2, M 5 +3, M 5 +4. Arătăm că x 4 i = M 5 +1. Într-adevăr avem:
(M 5 +1) 4 =(M 5 +1)(M 5 +1)(M 5 +1)(M 5 +1)=M 5 +1, (M 5 +2) 4 = M 5 +2 4 =
= M 5 +1, (M 5 +3) 4 = M 5 +3 4 = M 5 +1, (M 5 +4) = M 5 +4 4 = M 5 +1.
Evident, avem şi faptul că numerele x 8 i ,x12 i ,...,x2000 i sunt de forma M 5 +1. Atunci,
N =4(M 5 +1)+8(M 5 +1)+···+ 2000 (M 5 +1)= M 5 +4(1+2+···+ 500) =
501 · 500
= M 5 +4 = M 5 +2· 500 · 501 = M 5 .
2
Soluţia II (dată deelevaTuţescu Anca Ştefania, Craiova). Avem
N = ¡ 4x 4 1 − 4+4 ¢ + ¡ 8x 8 2 − 8+8 ¢ + ···+2000 ¡ x 2000
500 − 2000 + 2000 ¢ sau
N =4 ¡ x 4 1 − 1 ¢ +8 ¡ x 8 2 − 1 ¢ + ···+ 2000 ¡ x 2000
500 − 1 ¢ +4(1+2+···+ 500) . (1)
501 · 500
Cum 4(1+2+···+ 500) = 4 =2· 501 · 500, rezultăcă acest termen
2
al numărului N se divide cu 10. Pedealtă parte, pentru orice număr x ∈ N ce
nu-i divizibil cu 5, avem: U (x) ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, U ¡ x 2¢ ∈ {1, 4, 6, 9}, U ¡ x 4¢ ∈
{1, 6}, U ¡ x 8¢ ∈ {1, 6} etc. Ca urmare, U ¡ x 4 1 − 1 ¢ , U ¡ x 8 2 − 1 ¢ , ... , U ¡ x 2000
500 − 1 ¢ ∈
{0, 5}; iarU £ 4 ¡ x 4 1 − 1 ¢¤ , U £ 8 ¡ x 8 2 − 1 ¢¤ , ... , U £ 2000 ¡ x 2000
500 − 1 ¢¤ ∈ {0}.
În consecinţă, toţi termenii din scrierea (1) aluiN sunt divizibili cu 10 şi, deci,
N . . 10.
ClasaaVI-a
VI.26. Fie A =4a +6b − c, B =4a − 3b − c, C = −3a − 11b − 28c, unde
a, b, c ∈ Z. Dacă (A, B) =23,arătaţi că (A, B, C) =23.
Cristiana Constanda, elevă, Iaşi
Soluţie. Nu trebuie să arătăm, de fapt, decât că C . 23. Avem că A − B
. 23,
deci 9b . 23 şi cum (9, 23) = 1, atunci b
. 23. DinA =4a +6b − c
. 23, urmeazăacum
că 4a − c . 23, deci c =4a − 23k, k ∈ Z. În aceste condiţii, C = −3a − 11b − 28c =
= −3a − 11b − 28 (4a − 23k) =−115a − 11b +28· 23k, fiecare termen fiind multiplu
de 23.
VI.27. Să se rezolve în Z sistemul: 3x +2y ≤ 8; x − y ≤ 1; 3x − y =1.
Mihai Crăciun, Paşcani
Soluţie. Avem: y =3x − 1 ≤ 8 − 2y − 1=7− 2y ⇒ 3y ≤ 7 ⇒ y ≤ 7 3 ,
y =3x − 1 ≤ 3(1+y) − 1=2+3y ⇒−2y ≤ 2 ⇒ y ≥−1; deoarece y ∈ Z, rezultă că
y ∈ {−1, 0, 1, 2}. Însă x = y +1 şi singurele soluţii convenabile sunt (0, −1) şi (1, 2).
3
VI.28. Să se rezolve în N ecuaţia
1 · 2+2· 3+···+ n · (n +1)− (n +1)− (n +2)− ···− 2n =2+4+···+2n.
Dumitru - Dominic Bucescu, Iaşi
55